Continuità della media integrale

[Paolo902]

Sia $Omega \subset \RR^N$ il solito aperto, connesso, non vuoto e sia $f: \Omega \to \RR$. Fissato $x \in \Omega$ e presa una palla $B_R(x) \subset \Omega$ si può definire la funzione
\[
\begin{split}
\varphi \colon & (0,R) \to \mathbb R \\
& r \mapsto \frac{1}{\vert B_r(x) \vert}\int_{B_r(x)}f(y)dy
\end{split}
\]
dove $|\cdot|$ denota la solita misura $N$-dimensionale.
Sotto l'ipotesi che $f$ sia continua si può provare in maniera molto semplice che
\[\tag{L}
\lim_{r \to 0} \varphi(r)=f(x)
\]

Domanda: sotto quali ipotesi minime il limite $(L)$ continua a restare vero? Basta $f \in L^1(\Omega)$? Se sì, come si adatta la dimostrazione? Grazie.

EDIT: mi rendo conto solo ora che forse $L^1$ non va bene, perchè non ha significato la scrittura $f(x)$...

[gugo82]

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[Paolo902]

Ti ringrazio.