Continuità della funzione integrale
Ciao a tutti! Non mi sono chiare un paio di finezze (?) della seguente dimostrazione. Potreste guidarmi?
Vi ringrazio per il vostro tempo!
Sia $f:Ax\RR->\RR$ una funzione continua di $n+1$ variabili reali, sia $A\subseteq\RR^n$ un aperto e siano $alpha,beta$ due funzioni continue in $A$. Allora la funzione integrale $phi:A->\RR$ con $phi(x)=int_(alpha(x))^(beta(x)) f(x,t) dt, x\in A\subseteq\RR^n$ è continua in $A$.
Dimostrazione
Consideriamo preliminarmente la funzione $F:A"x"\RR^2->\RR$ di n+2 variabili reali definita da $F(x,y,z)=int_(y)^(z) f(x,t) dt , x\inA\subseteq\RR^n,y\in\RR,z\in\RR$ e mostriamo che tale funzione è continua su $A"x"\RR"x"\RR$.
1) Da ciò seguira che la funzione $phi:A->\RR$, ovvero $phi(x)=F(x,alpha(x),beta(x))$ è continua in $A$ perché composizione di funzioni continue.
Sia $(x_0,y_0,z_0)$ un punto di $A"x"\RR"x"\RR$. Sia $K"x"[a,b]"x"[a,b]$ un compatto contenuto in $A"x"\RR"x"\RR$ e contenente un intorno del punto $(x_0,y_0,z_0)$. Per il teorema di Weierstrass esiste $M>0$ tale che $|f(x,t)|<=M$ per ogni $(x,t)\inK"x"[a,b]$. Per ogni $(x,y,z)\inK"x"[a,b]"x"[a,b]$ si ha
$|F(x,y,z)-F(x_0,y_0,z_0)|<=|int_(y)^(y_0) (|f(x,t)|) dt|+|int_(y_0)^(z_0) (|f(x,t)-f(x_0,t)|) dt|+|int_(z_0)^(z) (|f(x,t)|) dt|<=M|y-y_0|+|int_(y_0)^(z_0) (|f(x,t)-f(x_0,t)|) dt|+M|z-z_0|$
2) Poiché la funzione $g(x,t)=|f(x,t)-f(x_0,t)|$ è continua per $(x,y)\inK"x"[a,b]$ in base al teorema di Cantor è anche uniformemente continua in tale insieme.
Pertanto, fissato $epsilon>0,\exists delta>0$ tale che per ogni coppia $(x_1,t_1),(x_2,t_2)$ di punti di $K"x"[a,b]$ con $|x_1-x_2|
$|g(x,t)|=|f(x,t)-f(x_0,t)|
Domande
1) Magari è banale, ma di che tipo di composizione parla?
2) Perché parla di continuità in $(x,y)$? La funzione non è definita in $(x,t)$? Allora chi è $t$?
3) $t_0$ è un errore di battitura? Perché $g(x_2,t_2)=0$?
4) Perché $|z_0-y_0|$ è maggiorabile da $b-a$ ? O meglio, perché non è troppo approssimativa come maggiorazione? Poi il fatto che $f$ sia continua su un compatto mi permette di affermare che $M*epsilon$ è molto piccolo?
Vi ringrazio per il vostro tempo!
Sia $f:Ax\RR->\RR$ una funzione continua di $n+1$ variabili reali, sia $A\subseteq\RR^n$ un aperto e siano $alpha,beta$ due funzioni continue in $A$. Allora la funzione integrale $phi:A->\RR$ con $phi(x)=int_(alpha(x))^(beta(x)) f(x,t) dt, x\in A\subseteq\RR^n$ è continua in $A$.
Dimostrazione
Consideriamo preliminarmente la funzione $F:A"x"\RR^2->\RR$ di n+2 variabili reali definita da $F(x,y,z)=int_(y)^(z) f(x,t) dt , x\inA\subseteq\RR^n,y\in\RR,z\in\RR$ e mostriamo che tale funzione è continua su $A"x"\RR"x"\RR$.
1) Da ciò seguira che la funzione $phi:A->\RR$, ovvero $phi(x)=F(x,alpha(x),beta(x))$ è continua in $A$ perché composizione di funzioni continue.
Sia $(x_0,y_0,z_0)$ un punto di $A"x"\RR"x"\RR$. Sia $K"x"[a,b]"x"[a,b]$ un compatto contenuto in $A"x"\RR"x"\RR$ e contenente un intorno del punto $(x_0,y_0,z_0)$. Per il teorema di Weierstrass esiste $M>0$ tale che $|f(x,t)|<=M$ per ogni $(x,t)\inK"x"[a,b]$. Per ogni $(x,y,z)\inK"x"[a,b]"x"[a,b]$ si ha
$|F(x,y,z)-F(x_0,y_0,z_0)|<=|int_(y)^(y_0) (|f(x,t)|) dt|+|int_(y_0)^(z_0) (|f(x,t)-f(x_0,t)|) dt|+|int_(z_0)^(z) (|f(x,t)|) dt|<=M|y-y_0|+|int_(y_0)^(z_0) (|f(x,t)-f(x_0,t)|) dt|+M|z-z_0|$
2) Poiché la funzione $g(x,t)=|f(x,t)-f(x_0,t)|$ è continua per $(x,y)\inK"x"[a,b]$ in base al teorema di Cantor è anche uniformemente continua in tale insieme.
Pertanto, fissato $epsilon>0,\exists delta>0$ tale che per ogni coppia $(x_1,t_1),(x_2,t_2)$ di punti di $K"x"[a,b]$ con $|x_1-x_2|
$|g(x,t)|=|f(x,t)-f(x_0,t)|
Domande
1) Magari è banale, ma di che tipo di composizione parla?
2) Perché parla di continuità in $(x,y)$? La funzione non è definita in $(x,t)$? Allora chi è $t$?
3) $t_0$ è un errore di battitura? Perché $g(x_2,t_2)=0$?
4) Perché $|z_0-y_0|$ è maggiorabile da $b-a$ ? O meglio, perché non è troppo approssimativa come maggiorazione? Poi il fatto che $f$ sia continua su un compatto mi permette di affermare che $M*epsilon$ è molto piccolo?
Risposte
1) La funzione $F$ e $x|->(x,\alpha(x),\beta(x))$.
2) Si, intende $(x,t)$.
3) $t_0$ è un errore di battitura, riguarda com'è definita $g$.
4) Perchè $y_0,z_0\in[a,b]$. Perchè funziona. Il fatto che $f$ sia continua in un compatto ti garantisce che $M$ esista finito, poi è per l'arbitrarietà di $\epsilon$ che la dimostrazione si conclude.
2) Si, intende $(x,t)$.
3) $t_0$ è un errore di battitura, riguarda com'è definita $g$.
4) Perchè $y_0,z_0\in[a,b]$. Perchè funziona. Il fatto che $f$ sia continua in un compatto ti garantisce che $M$ esista finito, poi è per l'arbitrarietà di $\epsilon$ che la dimostrazione si conclude.
Tutto chiaro, ti ringrazio!
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