Continuità della funzione
Mi aiutereste a svolgere questo esercizio?
Determinare la continuità di :
$f(x,y) ={ (lnxy if xy >0 ),( 0 if xy <=0):}$
Determinare la continuità di :
$f(x,y) ={ (lnxy if xy >0 ),( 0 if xy <=0):}$
Risposte
Idee tue?
Devo fare il limite per $(x,y) ---> (0,0) $ ???
Torna -inf ....
Torna -inf ....
Ciao starbike, una cosa che mi piace abbastanza è immaginare il grafico delle funzioni in due variabili, vorrei farlo anche con la tua funzione, sicura che se dico qualche sciocchezza gugo mi correggerà. Poi magari ti serve per farti un'idea di come rispondere alla tua domanda.
Allora come prima cosa mi domando quando il prodotto $xy$ è positivo: risposta: I e III quadrante, mentre è negativo neglia altri 2. Dunque nel II e IV quadrante, assi coordinati compresi, la nostra funzione vale 0 ed è rappresentata da due porzioni del piano $xy$ (due angoli retti opposti al vertice, che coincide con l'origine, i cui lati sono gli assi coordinati).
Secondo me la nostra funzione è definita nell'origine, dove vale 0.
Ora mi domando cosa succede negli altri due quadranti: provo a disegnarmi qualche curva di livello e noto che se il prodotto $xy$ è una costante allora lo sarà anche il valore del suo logaritmo, dunque le curve di livello sono delle iperboli con gli asintoti coincidenti con gli assi coordinati. Allora se il prodotto $xy$ vale 1 allora la funzione vale 0, se $xy>1$ allora la funzione è positiva, se $xy<1$ allora la funzione è negativa.
La domanda è: cosa succede quando prendiamo coppie di punti del primo e terzo quadrante vicino, molto vicono, vicinissimo agli assi coordinati?
Allora come prima cosa mi domando quando il prodotto $xy$ è positivo: risposta: I e III quadrante, mentre è negativo neglia altri 2. Dunque nel II e IV quadrante, assi coordinati compresi, la nostra funzione vale 0 ed è rappresentata da due porzioni del piano $xy$ (due angoli retti opposti al vertice, che coincide con l'origine, i cui lati sono gli assi coordinati).
Secondo me la nostra funzione è definita nell'origine, dove vale 0.
Ora mi domando cosa succede negli altri due quadranti: provo a disegnarmi qualche curva di livello e noto che se il prodotto $xy$ è una costante allora lo sarà anche il valore del suo logaritmo, dunque le curve di livello sono delle iperboli con gli asintoti coincidenti con gli assi coordinati. Allora se il prodotto $xy$ vale 1 allora la funzione vale 0, se $xy>1$ allora la funzione è positiva, se $xy<1$ allora la funzione è negativa.
La domanda è: cosa succede quando prendiamo coppie di punti del primo e terzo quadrante vicino, molto vicono, vicinissimo agli assi coordinati?
Allora ho capito che per xy entrambi positivi o entrambi negativi il logaritmo è positivo ma se entrambi sono 0 il logaritmo vale -inf giusto???
Se sono di segno discorde il valore è negativo passiamo ai complessi poichè nei reali non c'è soluzione giusto? Le curve di livello non le abbiamo fatte e infatti li non riesco a seguirti.
Ma per dimostrare la continuità il limite lo devo fare per (x,y) tendente a cosa?
Se sono di segno discorde il valore è negativo passiamo ai complessi poichè nei reali non c'è soluzione giusto? Le curve di livello non le abbiamo fatte e infatti li non riesco a seguirti.
Ma per dimostrare la continuità il limite lo devo fare per (x,y) tendente a cosa?
"starbike":
Allora ho capito che per xy entrambi positivi o entrambi negativi il logaritmo è positivo ma se entrambi sono 0 il logaritmo vale -inf giusto???
l'argomento del logaritmo, voglio dire il nostro logaritmo è definito se il suo argomento è maggiore di zero, ma il suo valore è positivo se il suo argomento è maggiore di 1, negativo se l'argomento è minore di 1, uguale a 0 se l'argomento è 1. Riflettici su un po', poi se non capisci provo a rispiegare.
"starbike":
Se sono di segno discorde il valore è negativo passiamo ai complessi poichè nei reali non c'è soluzione giusto?
Ma se sono discordi la nostra funzione vale zero, o sbaglio?
Il logaritmo è positivo se l'argomento è maggiore di 1 e qui ci sono ma nella funzione definita sopra viene posto l'argomento >= 0 è quello che non capisco
Ok, ma il valore del logaritmo può essere negativo, no? Come deve essere l'argomento per avere dei valori negativi del logaritmo?
compresi tra 0 e 1 ?
sì,
dunque nel I e III quadrante la nostra funzione assume valori positivi in corrispondenza di alcuni punti, e valori negativi in corrispondenza di altri punti, corretto?
dunque nel I e III quadrante la nostra funzione assume valori positivi in corrispondenza di alcuni punti, e valori negativi in corrispondenza di altri punti, corretto?
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