Continuità dela funzione derivata
Buongiorno a tutti,
risolvendo un esercizio mi sono sorti dei dubbi riguardo alla continuità delle funzione derivate.
L'esercizio assegnava una certa funzione parametrica $ f(x) $ , e chiedeva di determinare i parametri affinché $ f(x) $ sia:
1) continua;
2) derivabile;
3) derivabile con $ f'(x) $ continua.
Risolvendo l'esercizio ho ottenuto parametri diversi per i punti 2) e 3), ovvero per soddisfare 3) ho dovuto introdurre un'altra condizione oltre a quella imposta in 2). Come è possibile ciò? Se una funzione è derivabile, la sua funzione derivata non dovrebbe essere sempre continua?
P.s.: ho preferito per ora tralasciare il testo dell'esercizio, mi interessa trovare una soluzione generale al problema così da correggerlo da solo nel caso sia errato.
risolvendo un esercizio mi sono sorti dei dubbi riguardo alla continuità delle funzione derivate.
L'esercizio assegnava una certa funzione parametrica $ f(x) $ , e chiedeva di determinare i parametri affinché $ f(x) $ sia:
1) continua;
2) derivabile;
3) derivabile con $ f'(x) $ continua.
Risolvendo l'esercizio ho ottenuto parametri diversi per i punti 2) e 3), ovvero per soddisfare 3) ho dovuto introdurre un'altra condizione oltre a quella imposta in 2). Come è possibile ciò? Se una funzione è derivabile, la sua funzione derivata non dovrebbe essere sempre continua?
P.s.: ho preferito per ora tralasciare il testo dell'esercizio, mi interessa trovare una soluzione generale al problema così da correggerlo da solo nel caso sia errato.
Risposte
No, non è detto che se una funzione è derivabile allora la sua derivata è continua. Ad esempio:
$
f(x) = x^2\sin(\frac{1}{x}) , x \ne 0 $ con $ f(0)=0 $
è continua e derivabile in 0 ma la sua derivata non è lì continua.
Ciao.
$
f(x) = x^2\sin(\frac{1}{x}) , x \ne 0 $ con $ f(0)=0 $
è continua e derivabile in 0 ma la sua derivata non è lì continua.
Ciao.
Sì, hai ragione.
Mi è sorto un altro dubbio guardando il tuo esempio: come mai il limite del rapporto incrementale destro in zero (mi risulta uguale a 0) è diverso dal limite della derivata (mi risulta oscillante)? Non dovrebbero coincidere dato che la funzione è continua in 0?
Mi è sorto un altro dubbio guardando il tuo esempio: come mai il limite del rapporto incrementale destro in zero (mi risulta uguale a 0) è diverso dal limite della derivata (mi risulta oscillante)? Non dovrebbero coincidere dato che la funzione è continua in 0?
Dunque:
$f(x) $ è continua in 0 perché $ \exists \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) $ infatti i limiti destro e sinistro esistono e coincidono.
$f(x)$ è derivabile in 0 perché esiste il limite del rapporto incrementale in 0: $ \lim_{x \to 0} (\frac{h^2\sin(\frac{1}{h})-0}{h}) =0 $ infatti i limiti destro e sinistro esistono e coincidono.
$f'(x)$ non è continua in 0 perché $ lim_{x \to 0} f'(x) = lim_{x \to 0} (2x\sin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x})) = \cancel{\exists} $ infatti il limite oscilla tra $-1$ e $1$, ovvero la classe limite é $\Lambda= [-1,1]$.
Cioè la continuità di $f$ assicura che il limite esista destro e sinistro e coincida con $f(0)$ ma il fatto che esista finito il limite del rapporto incrementale nulla assicura sul limite della funzione derivata.
$f(x) $ è continua in 0 perché $ \exists \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) $ infatti i limiti destro e sinistro esistono e coincidono.
$f(x)$ è derivabile in 0 perché esiste il limite del rapporto incrementale in 0: $ \lim_{x \to 0} (\frac{h^2\sin(\frac{1}{h})-0}{h}) =0 $ infatti i limiti destro e sinistro esistono e coincidono.
$f'(x)$ non è continua in 0 perché $ lim_{x \to 0} f'(x) = lim_{x \to 0} (2x\sin(\frac{1}{x})-cos(\frac{1}{x})) = \cancel{\exists} $ infatti il limite oscilla tra $-1$ e $1$, ovvero la classe limite é $\Lambda= [-1,1]$.
Cioè la continuità di $f$ assicura che il limite esista destro e sinistro e coincida con $f(0)$ ma il fatto che esista finito il limite del rapporto incrementale nulla assicura sul limite della funzione derivata.
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