Continuità del prodotto scalare

[ludwigZero]

Devo verificare che il prodotto scalare è continuo su $R^n$:

In particolare prodotto scalare rispetto alla prima componente ($y$ è fissato):
$g(x)= (x,y)$

La tesi è:
$lim_(n->+oo) (x_n,y) = (x_0, y)$

Denoto con ${x_n}$ con $n$ appartenente a $NN$, una successione convergente a valori in $x_0$

Dalla diseguaglianza di Schwart si ha:
$|g(x)-g(x_0)| = |(x_n ,y) - (x_0 ,y)| <= |(x_n -x_0,y)| <= ||x_n - x_0||*||y||$

per $x_n -> x_0$ con $n->+oo$ si ha $||x_n - x_0||*||y|| ->0$

ottengo:
$lim_(n->+oo) |(x_n,y) - (x_0, y)| =0$ tolgo la norma:
$lim_(n->+oo) (x_n,y) - (x_0, y) =0$ da cui: $lim_(n->+oo) (x_n,y) = (x_0, y) $

però se tolgo i passaggi intermedi ho: $|g(x)-g(x_0)| =||x_n - x_0||*||y||$ dato che $y$ funge da costante, ho di fronte una funzione lipschitziana, che implica che è uniformemente continua

(ho seguito inizialmente il ragionamento del libro che non menziona però la funzione lipschitziana....)

[dissonance]

Beh? Qual è il problema? Se devi verificare solo la continuità rispetto ai singoli argomenti si tratta di un esercizio molto semplice che peraltro hai già risolto. Se devi verificare la continuità rispetto ai due argomenti simultaneamente la cosa è un epsilon più difficile ma sempre lì stiamo.

[ludwigZero]

Volevo una conferma della dimostrazione, l'esercizio suggerisce di fare la verifica di continuità rispetto ad un singolo argomento che io scelto rispetto a $x$.
La continuità per i due argomenti rispettivamente, dovrei considerare due successioni ${x_n}$ e ${y_n}$ convergenti a valori in $x_0, y_0$ e generalizzare la diseguaglianza di Schwarz, o c'è qualche piccolo cambiamento da fare? (solo curiosità)