Continuità - Controllo...

[jollysa87]

Ciao a tutti,

Ho svolto una serie di esercizi tutti sulla continuità di funzioni di 2 variabili.
Potete dare un occhiate e dirmi se ho sbagliato qualcosa?

1) $f(x,y)={((x^2-xy^2)/(x^2+y^2),if x!=0),(y^3,if x=0):}$

Mia soluzione:

$\lim_{x \to 0}(x^2-xy^2)/(x^2+y^2)=\lim_{x \to 0}(x(x-y^2))/(x^2+y^2)=0/y^2=0$

Perciò ho concluso che $f(x,y)$ è continua per $x!=0$ e per $x=0$ se e solo se $y^3=0$ cioè $y=0$


2) $f(x,y)={(x,if x+y!=0),(-y,if x+y=0):}$

Mia soluzione:

$\lim_{x \to -y}x=-y$

Perciò ho concluso che $f(x,y)$ è continua sia per $x+y!=0$ che per $x+y=0$


3) $f(x,y)={(x^3sin(1/x)+y^3,if x!=0),(0,if x=0):}$

Mia soluzione:

$\lim_{x \to 0}x^3sin(1/x)+y^3=y^3$

Perciò ho concluso che $f(x,y)$ è continua per $x!=0$ e per $x=0$ se e solo se $y^3=0$ cioè $y=0$


4) $f(x,y)={(y^4cos((x+1)/y)+y^2+x^3+2,if y!=0),(x^2+2,if y=0):}$

Mia soluzione:

$\lim_{y \to 0}y^4cos((x+1)/y)+y^2+x^3+2=x^3+2$

Perciò ho concluso che $f(x,y)$ è continua per $y!=0$ e per $y=0$ se e solo se $x^3+2=x^2+2$ cioè quando $x=0$ o $x=1$


5) $f(x,y)={((x^ay^b)/(x^2+y^2),if (x,y)!=(0,0)),(c,if (x,y)=(0,0)):}$

Mia soluzione:

Sono passato alle coordinate polari per verificare l'esistenza del limite nel punto $(0,0)$ e mi viene:

$\lim_{r \to 0}(r^(a+b)cos^aθsin^bθ)/r^2={(text{Non esiste},if a+b<2),(text{Non esiste},if a+b=2),(0, if a+b>2):}$

Perciò ho concluso che $f(x,y)$ è continua per $(x,y)!=(0,0)$ e per $(x,y)=(0,0)$ se e solo se $a+b>2$ e $c=0$


6) $f(x,y)={(arctan((x+y)/(x-y)),if y!=x),(0,if y=x):}$

Mia soluzione:

L'arcotangente è la funzione inversa della tangente di un angolo compreso fra $(-π/2, π/2)$ perciò se il suo argomento tende ad infinito il limite risulta $π/2$:

$\lim_{y \to x}arctan((x+y)/(x-y))=π/2$

Perciò ho concluso che $f(x,y)$ è continua solo per $y!=0$


Grazie in anticipo a tutti!!

[regim]

Non noti qualche incongruenza? stai parlando di funzioni a due variabili o parametriche? c'é una notevole differenza. Un conto studiare il limite di una funzione a due variabili un conto studiare il limite di una funzione ad una variabile al variare di un parametro.

[jollysa87]

Ti riferisci agli ultimi 2 esercizi? Sono tutte funzioni di 2 variabili gli ultimi 2 ex poi, hanno dei parametri pure... sbaglio?

[regim]

Se fai limiti di funzione a due variabili non puoi far tenderne solo una verso il punto. Se lo fai allora, o sbagli, o stai operando con una funzione di una variabile eventualmente dipendente da un parametro, $y$ in molti degli esercizi postati...vabbe in qualche caso potrebbe anche funzionare ho visto...ma insomma non é la maniera corretta ....le funzioni sono a due variabili allora entrambe le variabili si devono muovere, indipendetemente dal fatto che in qualche caso é irrilevante...nel primo caso non lo é per esempio.

[regim]

Allora il 2 é corretto a parte come hai scritto il limite.
Il 3 come il secondo, corretto a parte come hai scritto il limite.
Il 4 come il secondo e il terzo.
il 6 non é continua sulla retta.

[jollysa87]

Ho capito cosa intendi, è dire che anche se la condizione è solo su una variabile, cmq devo specificare che l'altra tende ad un valore generico. Giusto?
Nell'esercizio 6 ho detto che la funzione è continua solo per $y!=0$, intendendo che siccome il limite per $y->x$ vale $π/2$ e non $0$ per $y=0$ la funzione non è continua. Giusto? Grazie mille per l'aiuto!!!

[regim]

$\lim_{(x,y) -> (x1,x1)}arctan((x+y)/(x-y)) = ?$ siccome il denominatore puó tendere a zero per valori negativi ma anche positivi fermo restando che il numeratore rimane sempre positivo per determinati percorsi oppure sempre negativo a seconda dei punti sulla retta y=x cui tende il punto, hai perció una indeterminazione, perché a secondo del percorso scelto hai valori diversi cui tende l'arcotangente...non converge quindi. Tu dici che non é continua sull'asse delle ascisse, é errato, non é continua sulla retta y=x.
Sono funzioni a 2 variabili, a me sembra che le tratti come fossero ad una, mi sbaglio?

[jollysa87]

Si è vero sembra proprio che le tratto come se fossero funzioni ad una variabile sola... Grazie per l'aiuto!