Continuità + Cauchy-Riemann $=>$ differenziabilità?
Mi hanno detto che è vero, io stento a crederci. Solo che non trovo il controesempio... La questione è più profonda di quello che espongo qui: questa è la "riduzione" del problema originario a una questione di Analisi II.
Siano dati un aperto connesso $\Omega$ di $RR^{2}$ e una funzione $F: \Omega \to \RR^{2}$, con $F:(x,y) \mapsto (u(x,y), v(x,y))$.
Supponiamo che in $\Omega$:
(1) $F$ sia continua;
(2) esistano $u_x, u_y, v_x, v_y$;
(3) valgano le uguaglianze $u_x=v_y$, $u_y=-v_x$.
Allora $f$ è differenziabile in $\Omega$.
Qualche idea? E' evidente che (1)+(2) non implicano la differenziabilità... Possibile che la (3) basti?
Se volete, racconterò poi per bene da dove nasce il problema (anche se è evidente che sotto ci sia un po' di Analisi Complessa).
Grazie.
Siano dati un aperto connesso $\Omega$ di $RR^{2}$ e una funzione $F: \Omega \to \RR^{2}$, con $F:(x,y) \mapsto (u(x,y), v(x,y))$.
Supponiamo che in $\Omega$:
(1) $F$ sia continua;
(2) esistano $u_x, u_y, v_x, v_y$;
(3) valgano le uguaglianze $u_x=v_y$, $u_y=-v_x$.
Allora $f$ è differenziabile in $\Omega$.
Qualche idea? E' evidente che (1)+(2) non implicano la differenziabilità... Possibile che la (3) basti?
Se volete, racconterò poi per bene da dove nasce il problema (anche se è evidente che sotto ci sia un po' di Analisi Complessa).
Grazie.
Risposte
Se per "differenziabilità" intendi la differenziabilità in senso complesso, allora l'implicazione è falsa se le asserzioni di esistenza sono puntuali.
Ad esempio la funzione:
\[
f(z):=\begin{cases} |z|^{-4}z^5 &\text{, se } z\neq 0 \\ 0 &\text{, se } z=0\end{cases}
\]
è continua e soddisfa C-R in \(0\), tuttavia non è differenziabile rispetto a \(z\) in \(0\).
Invero se \(z_0\neq 0\) si vede che \(f\) è continua in \(z_0\); d'altra parte è:
\[
|f(z)|\leq |z|
\]
quindi la \(f\) è continua pure in \(0\).
Per quanto riguarda le C-R, procedi come segue: passando in coordinate reali trovi:
\[
f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^5-10x^3 y^2+5xy^4}{(x^2+y^2)^2} +\imath\ \frac{5x^4y-10x^2y^3+y^5}{(x^2+y^2)^2} &\text{, per } (x,y)\neq o \\ 0 &\text{, altrimenti,}\end{cases}
\]
sicché:
\[
u(x,y):=\begin{cases} \frac{x^5-10x^3 y^2+5xy^4}{(x^2+y^2)^2} &\text{, per } (x,y)\neq o \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases} \quad \text{e} \quad v(x,y):= \begin{cases} \frac{5x^4y-10x^2y^3+y^5}{(x^2+y^2)^2} &\text{, per } (x,y)\neq o \\ 0 &\text{, altrimenti.}\end{cases}
\]
Ora, è evidente che \(u_x,u_y,v_x,v_y\) esistono dappertutto, tranne al più nell'origine; inoltre, giocando un po' coi limiti dei rapporti incrementali vedi che le quattro derivate esistono pure in \(o\) e che in tal punto sono addirittura soddisfatte le C-R, i.e.:
\[
\begin{cases} u_x=v_y \\ u_y=-v_x\end{cases}
\]
sono soddisfatte da \(u\) e \(v\) in \(o\).
Tuttavia formando il rapporto incrementale complesso relativo a zero si trova (qui \(z\neq 0\)):
\[
\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\frac{z^4}{|z^4|}
\]
ed il limite per \(z\to 0\) dell'espressione precedente non esiste (infatti per \(z=x\), il rapporto vale \(1\), mentre per \(z=x\exp (\imath \pi/4)\) il rapporto vale \(-1\)), pertanto \(f\) non è differenziabile in senso complesso in \(0\).
Questo controesempio mostra che la versione puntuale della tua proposizione, cioè:
è falsa.
Però le cose cambiano se si suppone che la continuità e le C-R siano soddisfatte in tutta una regione \(\Omega\): difatti sussiste il seguente teorema di Montel:
Se non erro, il problema con la \(f\) del controesempio precedente è che le C-R non sono soddisfatte in tutto un intorno "tranquillo" di \(0\).
Ad esempio la funzione:
\[
f(z):=\begin{cases} |z|^{-4}z^5 &\text{, se } z\neq 0 \\ 0 &\text{, se } z=0\end{cases}
\]
è continua e soddisfa C-R in \(0\), tuttavia non è differenziabile rispetto a \(z\) in \(0\).
Invero se \(z_0\neq 0\) si vede che \(f\) è continua in \(z_0\); d'altra parte è:
\[
|f(z)|\leq |z|
\]
quindi la \(f\) è continua pure in \(0\).
Per quanto riguarda le C-R, procedi come segue: passando in coordinate reali trovi:
\[
f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^5-10x^3 y^2+5xy^4}{(x^2+y^2)^2} +\imath\ \frac{5x^4y-10x^2y^3+y^5}{(x^2+y^2)^2} &\text{, per } (x,y)\neq o \\ 0 &\text{, altrimenti,}\end{cases}
\]
sicché:
\[
u(x,y):=\begin{cases} \frac{x^5-10x^3 y^2+5xy^4}{(x^2+y^2)^2} &\text{, per } (x,y)\neq o \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases} \quad \text{e} \quad v(x,y):= \begin{cases} \frac{5x^4y-10x^2y^3+y^5}{(x^2+y^2)^2} &\text{, per } (x,y)\neq o \\ 0 &\text{, altrimenti.}\end{cases}
\]
Ora, è evidente che \(u_x,u_y,v_x,v_y\) esistono dappertutto, tranne al più nell'origine; inoltre, giocando un po' coi limiti dei rapporti incrementali vedi che le quattro derivate esistono pure in \(o\) e che in tal punto sono addirittura soddisfatte le C-R, i.e.:
\[
\begin{cases} u_x=v_y \\ u_y=-v_x\end{cases}
\]
sono soddisfatte da \(u\) e \(v\) in \(o\).
Tuttavia formando il rapporto incrementale complesso relativo a zero si trova (qui \(z\neq 0\)):
\[
\frac{f(z)-f(0)}{z-0}=\frac{z^4}{|z^4|}
\]
ed il limite per \(z\to 0\) dell'espressione precedente non esiste (infatti per \(z=x\), il rapporto vale \(1\), mentre per \(z=x\exp (\imath \pi/4)\) il rapporto vale \(-1\)), pertanto \(f\) non è differenziabile in senso complesso in \(0\).
Questo controesempio mostra che la versione puntuale della tua proposizione, cioè:
\(f\) continua in \(z_0\) e \(f\) soddisfa C-R in \(z_0\) implica \(f\) è differenziabile in \(z_0\)
è falsa.
Però le cose cambiano se si suppone che la continuità e le C-R siano soddisfatte in tutta una regione \(\Omega\): difatti sussiste il seguente teorema di Montel:
Se \(f:\Omega \to \mathbb{C}\), con \(f(z)=u(x,y)+\imath v(x,y)\), soddisfa le tre condizioni seguenti:
i) \(u_x,u_y,v_x,v_y\) esistono dappertutto in \(\Omega\);
ii) \(u,v\) soddisfano le C-R dappertutto in \(\Omega\);
iii) \(f\) è localmente limitata (in particolare, continua);
allora \(f\) è differenziabile in senso complesso in \(\Omega\).
Se non erro, il problema con la \(f\) del controesempio precedente è che le C-R non sono soddisfatte in tutto un intorno "tranquillo" di \(0\).
Ti ringrazio per la risposta, carissimo.
Purtroppo, però, non è quello che andavo cercando. In primo luogo, mi scuso per non averlo precisato, ma intendevo differenziabilità in senso reale (ho cercato di presentare la cosa in modo del tutto indipendente dal piano complesso).
E poi c'è un altro problema: la tua funzione soddisfa C-R solo nell'origine, che non è un aperto di $\RR^2$. Io invece suppongo che le derivate parziali esistano e soddisfino C-R in tutto l'aperto.
L'idea che mi sono fatto è proprio questa: la continuità di $F$ e la validità di C-R in un aperto è necessaria e sufficiente per l'olomorfia.
Non è sconvolgente? Guarda qui: qualcuno ne sa qualcosa? Avete qualche referenza "comprensibile"?
Comincio ad avere il sospetto che non sia una questione elementare.
Grazie.
Purtroppo, però, non è quello che andavo cercando. In primo luogo, mi scuso per non averlo precisato, ma intendevo differenziabilità in senso reale (ho cercato di presentare la cosa in modo del tutto indipendente dal piano complesso).
E poi c'è un altro problema: la tua funzione soddisfa C-R solo nell'origine, che non è un aperto di $\RR^2$. Io invece suppongo che le derivate parziali esistano e soddisfino C-R in tutto l'aperto.
L'idea che mi sono fatto è proprio questa: la continuità di $F$ e la validità di C-R in un aperto è necessaria e sufficiente per l'olomorfia.
Non è sconvolgente? Guarda qui: qualcuno ne sa qualcosa? Avete qualche referenza "comprensibile"?
Comincio ad avere il sospetto che non sia una questione elementare.
Grazie.
Ho modificato un po' il post. 
Sorry, non avevo visto il tuo edit
Facciamo un po' di ordine, ho paura di perdermi.
Sia $\Omega \subset \CC$ il solito aperto connesso. Consideriamo una funzione $f: Omega to CC$: possiamo certamente scrivere che $z \mapsto f(z)$ oppure $x+iy \mapsto u(x,y)+iv(x,y)$ (separiamo parte reale e immaginaria, nulla di sconvolgente).
Dico $f$ olomorfa se è derivabile in senso complesso su tutto $Omega$.
Ebbene, grazie all'identificazione tra $CC$ e $RR^2$, a $f$ resta associata in maniera naturale una funzione $F: \Omega \to RR^{2}$ ($Omega$ è visto ora come sottoinsieme del piano euclideo) che manda $(x,y) \mapsto (u(x,y), v(x,y))$.
Prima questione: ci chiediamo il legame che c'è tra $F$ e $f$. Se ho ben capito,
$F$ differenziabile + C-R $<=> f$ è olomorfa.
Questo primo fatto è vero?
Seconda questione: sembra che si possano indebolire un po' le ipotesi. Secondo il teorema di Mondel (o quello di Looman-Menchoff)
$F$ continua, esistono le derivate parziali e soddisfano C-R $<=> f$ olomorfa.
Capite che se a questo punto leggiamo solo la parte reale ( ) delle doppie implicazioni abbiamo:
$F$ continua, esistono le derivate parziali e soddisfano C-R $<=>$ se $F$ differenziabile
che è la domanda che ha originato questo topic.
Qualcuno mi aiuta a dipanare la questione? Temo di aver fatto confusione e ho un discreto casino in testa.
Grazie mille.
Facciamo un po' di ordine, ho paura di perdermi.
Sia $\Omega \subset \CC$ il solito aperto connesso. Consideriamo una funzione $f: Omega to CC$: possiamo certamente scrivere che $z \mapsto f(z)$ oppure $x+iy \mapsto u(x,y)+iv(x,y)$ (separiamo parte reale e immaginaria, nulla di sconvolgente).
Dico $f$ olomorfa se è derivabile in senso complesso su tutto $Omega$.
Ebbene, grazie all'identificazione tra $CC$ e $RR^2$, a $f$ resta associata in maniera naturale una funzione $F: \Omega \to RR^{2}$ ($Omega$ è visto ora come sottoinsieme del piano euclideo) che manda $(x,y) \mapsto (u(x,y), v(x,y))$.
Prima questione: ci chiediamo il legame che c'è tra $F$ e $f$. Se ho ben capito,
$F$ differenziabile + C-R $<=> f$ è olomorfa.
Questo primo fatto è vero?
Seconda questione: sembra che si possano indebolire un po' le ipotesi. Secondo il teorema di Mondel (o quello di Looman-Menchoff)
$F$ continua, esistono le derivate parziali e soddisfano C-R $<=> f$ olomorfa.
Capite che se a questo punto leggiamo solo la parte reale (
) delle doppie implicazioni abbiamo: $F$ continua, esistono le derivate parziali e soddisfano C-R $<=>$ se $F$ differenziabile
che è la domanda che ha originato questo topic.
Qualcuno mi aiuta a dipanare la questione? Temo di aver fatto confusione e ho un discreto casino in testa.
Grazie mille.
"Paolo90":Almenoche tu non voglia cambiare le carte in tavola!
...Dico $f$ olomorfa se è derivabile con continuità in senso complesso su tutto $Omega$...
Quindi la prima questione diventa banale [ho appena finito l'esame di fisica II (ottica ed elettromagnetismo) per cui non mi si lapidi]!
"j18eos":Almenoche tu non voglia cambiare le carte in tavola!
[quote="Paolo90"]...Dico $f$ olomorfa se è derivabile con continuità in senso complesso su tutto $Omega$...
Quindi la prima questione diventa banale [ho appena finito l'esame di fisica II (ottica ed elettromagnetismo) per cui non mi si lapidi]![/quote]
No, Armando, non dire fesserie!
Vedi Rudin, Real and complex analysis, §10.2.
"Paolo90":
Guarda qui: qualcuno ne sa qualcosa? Avete qualche referenza "comprensibile"?
Comincio ad avere il sospetto che non sia una questione elementare.
Hai già letto l'articolo di Gray e Morris citato nella pagina di wikipedia?
"Rigel":
Hai già letto l'articolo di Gray e Morris citato nella pagina di wikipedia?
No, ma ce l'ho nella lista delle cose da fare
Purtroppo altre lezioni mi hanno impedito di dedicarmi con calma alla faccenda. Appena riesco, lo leggo ed eventualmente ne discutiamo qui insieme.
Riesumo questo topic per chiedere chiarimenti in merito ad una questione (piuttosto sottile); se io usassi come definizione di olomorfia la seguente:
(preoccupandomi successivamente di dimostrare che questa supposizione sulla continuità della derivata è superflua) che vantaggio otterrei in termini pratici?
Definizione: $f$ si dice olomorfa in $\Omega$ se $f$ è derivabile in senso complesso in ogni punto di $\Omega$ e inoltre $f'$ è continua.
(preoccupandomi successivamente di dimostrare che questa supposizione sulla continuità della derivata è superflua) che vantaggio otterrei in termini pratici?
Provo a rispondermi da solo. Serve (nel senso che è più comoda) per ottenere il teorema di Cauchy come corollario (estensione) del teorema di Green; è corretto?
EDIT: in tal caso il mio dubbio non avrebbe nulla a che fare con questo topic e chiedo scusa per l'intromissione. In realtà sospettavo che la motivazione di suddetta definizione riguardasse le eq. di Cauchy-Riemann.
EDIT: in tal caso il mio dubbio non avrebbe nulla a che fare con questo topic e chiedo scusa per l'intromissione. In realtà sospettavo che la motivazione di suddetta definizione riguardasse le eq. di Cauchy-Riemann.
Penso che sia corretto, se il teorema di Green a cui fai riferimento è quello sull'integrazione delle forme differenziali.
Sì, è proprio quello. Grazie.
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