Continuità
Sia $f$ una funzione da $R$ in $R$. Dimostrare che l'insieme dei punti in cui la funzione NON è continua può essere espresso come unione numerabile di chiusi.
Risposte
Sia $C$ l'insieme di non continuità per $f$; allora $C$ è l'insieme degli $x \in \RR$ tali per cui $|minlim_(y \to x)f(y)-\maxlim_(y \to x)f(y)|>0$. Ma allora $C$ è l'unione numerabile dei $C_h$, dove $h \in \NN$, $h$ non nullo, e $C_h$ è l'insieme dove $|\minlim_(y \to x)f(y)-\maxlim_(y \to x)f(y)| \ge 1/h$.
"Luca.Lussardi":
Sia $C$ l'insieme di non continuità per $f$; allora $C$ è l'insieme degli $x \in \RR$ tali per cui $|minlim_(y \to x)f(y)-\maxlim_(y \to x)f(y)|>0$. Ma allora $C$ è l'unione numerabile dei $C_h$, dove $h \in \NN$, $h$ non nullo, e $C_h$ è l'insieme dove $|\minlim_(y \to x)f(y)-\maxlim_(y \to x)f(y)| \ge 1/h$.
non capisco bene su che successione fai il min lim ed il max lim. Cioè, se la f è continua in x indipendentemente dalla successione quell'espressione riporta il valore 0 e và bene. Se la f è discontinua in x però potrebbero esistere successioni convergenti ad x nel dominio le cui immagini convergono anche nel codominio (pur non al valore della f(x). In tal caso non è |max lim - min lim|=0 ma con la f discontinua nel punto???
Il fatto che quegli insiemi siano chiusi è lasciato al lettore, vero? (nel senso, ci vogliono un pò di passaggi per la verifica, no?)
uppiamo... non vorrei che ti scordassi, Luca ! 
in questi giorni il forum è così attivo che tra poco cambiava pagina il mio thread!
in questi giorni il forum è così attivo che tra poco cambiava pagina il mio thread!
si fa anche il "min lim" per le funzioni, come ha fatto Luca
mi ricordo ancora ad analisi I il mio prof (Cecconi) che l'aveva definito come il più piccolo tra i limiti di $f(x_n)$ al variare delle successioni $x_n$ t.c. $x_n -> x$
gli piacevano le successioni
e che avesse senso parlare del "più piccolo" ovviamente andava dimostrato, visto che le successioni convergenti ad un punto sono un tantino infinite
penso si possa anche definire senza passare attraverso le successioni
così abbiamo un $2 * UP$
mi ricordo ancora ad analisi I il mio prof (Cecconi) che l'aveva definito come il più piccolo tra i limiti di $f(x_n)$ al variare delle successioni $x_n$ t.c. $x_n -> x$
gli piacevano le successioni
e che avesse senso parlare del "più piccolo" ovviamente andava dimostrato, visto che le successioni convergenti ad un punto sono un tantino infinite
penso si possa anche definire senza passare attraverso le successioni
così abbiamo un $2 * UP$
Tranquillo Thomas, non mi ero scordato del problema, solo che non sono riuscito a dimostrare che quegli insiemi che ho utilizzato io sono chiusi, forse si puo' fare utilizzando proprieta' di semicontinuita', ma ho in mano una soluzione del problema (nel caso $f$ limitata) molto elementare, che mi e' stata suggeriita dal mio "capo" qui in Dipartimento, che ovviamente ringrazio.
Sia $f : \RR \to \RR$ una funzione limitata; poniamo, per ogni $x \in \RR$ e per ogni $\delta > 0$:
$\omega_\delta(x)=$sup${|f(y)-f(z)| : y,z \in (x-\delta,x+\delta)}$, e $\omega(x)=$inf${\omega_\delta(x) : \delta>0}$.
Supponiamo che $f$ sia continua in $x$; fissato $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale per cui si ha $|f(y)-f(x)|<\epsilon$ per ogni $y \in (x-\delta,x+\delta)$. Dunque per ogni $y,z \in (x-\delta,x+\delta)$ si ha $|f(y)-f(z)| \le |f(y)-f(x)|+|f(x)-f(z)| \le 2\epsilon$. Quindi $\omega_\delta(x)\le 2\epsilon$, e dunque $\omega(x)=0$. Viceversa supponiamo $\omega(x)=0$; allora fissato $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale per cui $\omega_\delta(x)\le \epsilon$. Ma allora per ogni $y,z \in (x-\delta,x+\delta)$ si ha $|f(y)-f(z)|\le \epsilon$. In particolare si ha che per ogni $y \in (x-\delta,x+\delta)$ vale $|f(y)-f(x)|\le \epsilon$ da cui $f$ e' continua in $x$. Abbiamo quindi dimostrato che $f$ e' continua in $x$ se e solo se $\omega(x)=0$.
Consideriamo l'insieme $A_t={x \in \RR : \omega(x)0$ tale che $\omega_\delta(x_0)
Finalmente si ha ${x \in \RR : f$ e' continua in $x}={x \in \RR : \omega(x)=0}=\bigcap_{n=1}^{+\infty} {x \in \RR : \omega(x)<1/n}$, ovvero l'insieme di continuita' e' un'intersezione numerabile di aperti, e dunque l'insieme di discontinuita' e' unione numerabile di chiusi.
Sia $f : \RR \to \RR$ una funzione limitata; poniamo, per ogni $x \in \RR$ e per ogni $\delta > 0$:
$\omega_\delta(x)=$sup${|f(y)-f(z)| : y,z \in (x-\delta,x+\delta)}$, e $\omega(x)=$inf${\omega_\delta(x) : \delta>0}$.
Supponiamo che $f$ sia continua in $x$; fissato $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale per cui si ha $|f(y)-f(x)|<\epsilon$ per ogni $y \in (x-\delta,x+\delta)$. Dunque per ogni $y,z \in (x-\delta,x+\delta)$ si ha $|f(y)-f(z)| \le |f(y)-f(x)|+|f(x)-f(z)| \le 2\epsilon$. Quindi $\omega_\delta(x)\le 2\epsilon$, e dunque $\omega(x)=0$. Viceversa supponiamo $\omega(x)=0$; allora fissato $\epsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale per cui $\omega_\delta(x)\le \epsilon$. Ma allora per ogni $y,z \in (x-\delta,x+\delta)$ si ha $|f(y)-f(z)|\le \epsilon$. In particolare si ha che per ogni $y \in (x-\delta,x+\delta)$ vale $|f(y)-f(x)|\le \epsilon$ da cui $f$ e' continua in $x$. Abbiamo quindi dimostrato che $f$ e' continua in $x$ se e solo se $\omega(x)=0$.
Consideriamo l'insieme $A_t={x \in \RR : \omega(x)
Finalmente si ha ${x \in \RR : f$ e' continua in $x}={x \in \RR : \omega(x)=0}=\bigcap_{n=1}^{+\infty} {x \in \RR : \omega(x)<1/n}$, ovvero l'insieme di continuita' e' un'intersezione numerabile di aperti, e dunque l'insieme di discontinuita' e' unione numerabile di chiusi.
Ok... mi pare vada bene... poi la riguardo con l'opportuna attenzione...
Io avevo pensato (e vi chiedo di dirmi cosa ne pensate, visto che ho seri dubbi) di prendere gli insiemi:
$C_n={x \in \RR t.c. f^(-1)B(f(x),1/n) $è un intorno di $ x}$
Chiamato $C(f)$ l'insieme dei punti in cui la funzione è continua, vorrebbe essere:
$C(f)=\bigcap_{n=1}^{infty} C_n^o$
(il pallino indica l'apertura)
una inclusione è ovvia, ovvero $\supe$. Rimane da far vedere che facendo l'apertura di quegli insiemi non perdo punti importanti. Ovvero che se $x \in C_n$ e se $f$ è continua in $x$, allora $x \in C_n^o$. Ovvero esiste un intero intorno di $x$ appartenente a $C_n$.
Questo forse è vero perché per continuità esiste $\delta$ t.c.:
$f(B(x,\delta)) \sube B(f(x),1/(4n))$
quindi se prendo un qualsiasi $y$ in $B(x,\delta)$
vale che::
$f^(-1)B(f(y),1/n) \supe f^(-1)B(f(x),1/(4n)) \ supe B(x,\delta)$ al quale appartiene un intero intorno di $y$.
Ora sono stanco... oggi pome mi era sembrato che non funzionasse... ditemi voi!!
Io avevo pensato (e vi chiedo di dirmi cosa ne pensate, visto che ho seri dubbi) di prendere gli insiemi:
$C_n={x \in \RR t.c. f^(-1)B(f(x),1/n) $è un intorno di $ x}$
Chiamato $C(f)$ l'insieme dei punti in cui la funzione è continua, vorrebbe essere:
$C(f)=\bigcap_{n=1}^{infty} C_n^o$
(il pallino indica l'apertura)
una inclusione è ovvia, ovvero $\supe$. Rimane da far vedere che facendo l'apertura di quegli insiemi non perdo punti importanti. Ovvero che se $x \in C_n$ e se $f$ è continua in $x$, allora $x \in C_n^o$. Ovvero esiste un intero intorno di $x$ appartenente a $C_n$.
Questo forse è vero perché per continuità esiste $\delta$ t.c.:
$f(B(x,\delta)) \sube B(f(x),1/(4n))$
quindi se prendo un qualsiasi $y$ in $B(x,\delta)$
vale che::
$f^(-1)B(f(y),1/n) \supe f^(-1)B(f(x),1/(4n)) \ supe B(x,\delta)$ al quale appartiene un intero intorno di $y$.
Ora sono stanco... oggi pome mi era sembrato che non funzionasse... ditemi voi!!
Non ho capito molto cosa hai fatto, e soprattutto non mi e' chiaro all'inizio perche' prendi la parte interna di $C_n$.
Ho preso l'apertura perchè volevo il tutto come intersezione di aperti, e non ero sicuro che quegli insiemi lo fossero... facendo l'apertura se erano aperti non perdo nulla, in caso contrario diventano aperti...
dopo però dovevo verificare che prendendo insiemi più piccoli non perdevo proprio i punti che mi interessavano... torna?
se vuoi riscrivo meglio il post, altrimenti dimmi quali altri punti non vanno... ok? dimmi tu cosa preferisci...
dopo però dovevo verificare che prendendo insiemi più piccoli non perdevo proprio i punti che mi interessavano... torna?
se vuoi riscrivo meglio il post, altrimenti dimmi quali altri punti non vanno... ok? dimmi tu cosa preferisci...
Doversti anzitutto dimostrare che la parte interna di quegli insiemi non e' vuota, se no la costruzione non ha molto senso. Per provare cio' va bene dimostrare quello che hai fatto, e cioe' che se $x \in C_n$ ed $f$ e' continua in $x$ allora $x$ sta in realta' nell'interno di $C_n$. Solo che anche qui faccio fatica a seguire la dimostrazione che hai dato, magari cerca di chiarire quella prima di tutto.
Ok... fisso $n$ e prendo $x$ t.c. la funzione ivi sia continua. Per definizione esiste $\delta$ t.c.:
$f(B(x,\delta)) \sube B(f(x),1/(4n))$
Claim: $B(x,\delta)$ è tutto compresa in $C_n$
infatti sia $y$ un punto di $B(x,\delta)$. Si deve trovare un intorno aperto di $y$ contenuto in $f^(-1)B(f(y),1/n)$.Si nota, visto che $f(y)$ dista meno di $1/(4n)$ da $f(x)$ con un disegnino che:
$B(f(x),1/(4n)) \sube B(f(y),1/n)$
ma allora
$f^(-1)B(f(y),1/n) \supe f^(-1) B(f(x),1/(4n))$
e l'ultima palla include per ipotesi $B(x,\delta)$, alla quale appartiene y. Visto che $B(x,\delta)$ è aperto, si trova anche un intorno di $y$ contenuto in $f^(-1)B(f(y),1/n)$...
è scritto bene? è corretto?
$f(B(x,\delta)) \sube B(f(x),1/(4n))$
Claim: $B(x,\delta)$ è tutto compresa in $C_n$
infatti sia $y$ un punto di $B(x,\delta)$. Si deve trovare un intorno aperto di $y$ contenuto in $f^(-1)B(f(y),1/n)$.Si nota, visto che $f(y)$ dista meno di $1/(4n)$ da $f(x)$ con un disegnino che:
$B(f(x),1/(4n)) \sube B(f(y),1/n)$
ma allora
$f^(-1)B(f(y),1/n) \supe f^(-1) B(f(x),1/(4n))$
e l'ultima palla include per ipotesi $B(x,\delta)$, alla quale appartiene y. Visto che $B(x,\delta)$ è aperto, si trova anche un intorno di $y$ contenuto in $f^(-1)B(f(y),1/n)$...
è scritto bene? è corretto?
Sì, mi pare che sia corretto. Il resto della dimostrazione è poi banale.
ottimo! ... grazie mille Luca!
... grazie mille Luca!
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