Continuità

[VALE014]

Buonasera a tutti ho questo esercizio sulla conituità ma non so proprio come farlo spero in un vostro aiuto. ]Discutere la continuit`a delle funzioni sen (π{x}) e cos(π{x}).grazie in anticipo

[Cantor99]

Provo a risponderti.

Con ${x}$ indichi la parte frazionaria?

Se sì, la funzione parte frazionaria $f(x)={x}=x-[x]$ ha discontinuità di prima specie nei punti di ascissa intera. Quindi è continua in $\RR-\ZZ$ e risulta per ogni $k\inZZ$, $f(k)=0$ e
$lim_(x->k^-) f(x) =1$
$lim_(x->k^+) f(x) =0$

Ora le funzioni $g(x)=sin(πx)$, $h(x)=cos(πx)$ sono continue in $RR$ e quindi $g(f(x))=sin(π{x}), h(f(x))=cos(π{x})$ ce l'aspettiamo continue in $RR-ZZ$. Dobbiamo controllare i punti di ascissa intera.

Se $x->k^-$, $π{x}->π$ e $sin(π{x})->0$;
Se $x->k^+$, $π{x}->0$ e $sin(π{x})->0$
Dunque $g(f(x))$ funzione dovrebbe essere sempre continua

Seguendo lo stesso ragionamento,se $x->k^-$, $π{x}->π$ e $cos(π{x})->-1$ mentre, se $x->k^+$, $π{x}->0$ e $cos(π{x})->1$. Dunque $cos(π{x})$ non è continua nei punti di ascissa intera

[VALE014]

Grazie mille, si era parte frazionata