Continuità

[stagnomaur]

Valutare la continuità di $f_a(x) ={(|x|^a * cos(1/x),if x!=0),(text{0},if x=0):}$

Premetto che quello che sto per scrivere non capisco bene come è strutturato per lo studio della continuità, ma soprattutto alcune considerazioni non mi sono chiare..

Nel caso in cui $x_o in RR$ tolto zero
$f(x) = |x|^a * cos (1/x)$
otteniamo $e^(a log |x|) * cos(1/x)$ funzione continua. In questo caso non ho capito ne per quale motivo sbuca fuori $e^(a log |x|)$ e ne per quale motivo diventa una funzione continua.
Andando avanti faccio:
$\lim_{x \to \0} f(x) = \lim_{x \to \0} |x|^a * cos (1/x) = 0$

$a = 0$ e $a < 0$
$\lim_{x \to \0} |x|^a * cos (1/x)$ non esiste, quindi $f_0$ non è continua in zero . Perchè non esiste e non è continua in questo caso?

invece per $a > 0$ è continua in zero, quindi continua su $RR$, perche??

[Seneca1]

"Matte":
otteniamo $e^(a log |x|) * cos(1/x)$ funzione continua. In questo caso non ho capito ne per quale motivo sbuca fuori $e^(a log |x|)$ e ne per quale motivo diventa una funzione continua.

Se $a \in \mathbb{N}$, $x^a$ è la solita potenza. Se invece consideri il caso generale in cui $a \in \mathbb{R}^+$ conviene scriversi $|x|^a = (e^{\log |x|})^a = e^{a \log |x|}$ da cui si vede immediatamente che $|x|^a$ è continua in quanto composizione di funzioni continue.

"Matte":
invece per $a > 0$ è continua in zero, quindi continua su $RR$, perche??

Si sfrutta il teorema del confronto. Infatti se $a > 0$ si ha che
\[ \left | |x|^a \cos \left (\frac{1}{x} \right ) \right | \le |x|^a \to 0 \]
per $x \to 0$.

[Seneca1]

"Matte":
$a = 0$ e $a < 0$
$\lim_{x \to \0} |x|^a * cos (1/x)$ non esiste, quindi $f_0$ non è continua in zero . Perchè non esiste e non è continua in questo caso?

Per provare che quel limite non esiste è sufficiente esibire due successioni $(x_n)_n , (y_n)_n \subset \mathbb{R} - \{ 0 \}$ tali che $x_n , y_n \to 0$ per $n \to + \infty$ e
\[ \lim_{n \to + \infty} |x_n|^a \cos \left ( \frac{1}{x_n} \right ) \ne \lim_{n \to + \infty} |y_n|^a \cos \left ( \frac{1}{y_n} \right ) .\]
Puoi scegliere ad esempio le successioni $x_n$ e $y_n$ tendenti a zero, in modo tale che risulti
\[ \cos \left ( \frac{1}{x_n} \right ) = 0 \quad, \quad \cos \left ( \frac{1}{y_n} \right ) = 1 .\]
Ti invito a provare a scrivere $x_n , y_n$ esplicitamente.

[stagnomaur]

Grazie mille ora ho più chiaro il ragionamento che c'è dietro