Continua e derivabile non implica $C^1$
Allora..
Data una funzione derivabile e continua, non è detto che la derivata sia contina.
Mi sembra abbastanza corretto.
Vorrei però un controesempio.. non riesco proprio a farlo..vabbè
Data una funzione derivabile e continua, non è detto che la derivata sia contina.
Mi sembra abbastanza corretto.
Vorrei però un controesempio.. non riesco proprio a farlo..vabbè
Risposte
il mio libro di analisi consiglia il seguente esempio di funzione derivabile, la cui derivata è discontinua in un punto.
$f$ definita per $x\inRR\backslash\{0\}$ come $f(x)=x^2sin(1/x)$ e per $x=0$ come $f(0)=0$.
Che sia derivabile in $\RR\backslash\{0\}$ non v'é dubbio e abbiamo $f'(x)=2xsin(1/x) - cos(1/x)$
In $0$ è differenziabile, perché:
$(f(h)-f(0))/(h-0)=hsin(1/h) \rightarrow 0=f'(0)$ per $h\rightarrow 0$.
Abbiamo però che $f'(x)$ non converge per $x\rightarrow 0$...dunque niente continuità per $f'$ in $0$.
$f$ definita per $x\inRR\backslash\{0\}$ come $f(x)=x^2sin(1/x)$ e per $x=0$ come $f(0)=0$.
Che sia derivabile in $\RR\backslash\{0\}$ non v'é dubbio e abbiamo $f'(x)=2xsin(1/x) - cos(1/x)$
In $0$ è differenziabile, perché:
$(f(h)-f(0))/(h-0)=hsin(1/h) \rightarrow 0=f'(0)$ per $h\rightarrow 0$.
Abbiamo però che $f'(x)$ non converge per $x\rightarrow 0$...dunque niente continuità per $f'$ in $0$.
grazie.. mi stavo "mangiando la capa" 
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