Consiglio x esercizi su integrali impropri
Non c'azzecco mai nel trovare una funzione asintoticamente a quella che compare nell'integrale improprio e adatta, poi, per determinare la convergenza. Che dite, va a intuito o c'è qualche indicazione di metodo, in linea di massima, almeno nei casi standard?
Risposte
Per esempio questo: $ int_(1)^(+oo) 1/(sqrt(e^x-1)(1+xlnx)) dx $.
La soluzione suggerita dice $ int_(1)^(+oo) 1/(sqrt(e^x-1)(1+xlnx)) dx <= int_(1)^(+oo) 1/x^2 dx$, quindi l'integrale converge. Ok, l'ho verificato a posteriori ma non mi sarebbe mai venuto in mente di andarmi a prendere $1/x^2$. Forse esiste qualche tavola di casi standard tipo quella degli integrali indefiniti.
Invece mi pare che, nel caso le funzioni abbiano uno sviluppo di Taylor, sia più semplice determinarne di asintoticamente equivalenti.
La soluzione suggerita dice $ int_(1)^(+oo) 1/(sqrt(e^x-1)(1+xlnx)) dx <= int_(1)^(+oo) 1/x^2 dx$, quindi l'integrale converge. Ok, l'ho verificato a posteriori ma non mi sarebbe mai venuto in mente di andarmi a prendere $1/x^2$. Forse esiste qualche tavola di casi standard tipo quella degli integrali indefiniti.
Invece mi pare che, nel caso le funzioni abbiano uno sviluppo di Taylor, sia più semplice determinarne di asintoticamente equivalenti.
Io per la funzione che hai scritto sopra avrei fatto una cosa più rozza, che però dovrebbe anch'essa funzionare:
$ int_(1)^(+oo) 1/(sqrt(e^x-1)(1+xlnx)) dx $
Il denominatore nell'argomento dell'integrale per $x->+oo$ si comporta in modo asintotico a $sqrt(e^x)xlog(x)$, anche se ci basterebbe addirittura $e^(x/2)$.
E' banale la verifica che
\[
\lim_{x-> +\infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}} = 0
\]
e quindi, per il teorema sugli ordini di infinitesimo studiato per la convergenza degli integrali impropri, quest'integrale converge.
Ma forse quello che ti manca è proprio il suddetto Teorema, che spinge a riportarsi a un caso noto, in cui compare solamente una potenza di $x$: quando il punto in cui si presentano i "problemi" è all'infinito, solitamente si usano gli ordini di infinito come ho fatto sopra, per ridursi ad una potenza nota; quando invece il punto di discontinuità è altrove, si usano spesso i limiti notevoli (et sviluppi di Taylor etc. etc.)
$ int_(1)^(+oo) 1/(sqrt(e^x-1)(1+xlnx)) dx $
Il denominatore nell'argomento dell'integrale per $x->+oo$ si comporta in modo asintotico a $sqrt(e^x)xlog(x)$, anche se ci basterebbe addirittura $e^(x/2)$.
E' banale la verifica che
\[
\lim_{x-> +\infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}} = 0
\]
e quindi, per il teorema sugli ordini di infinitesimo studiato per la convergenza degli integrali impropri, quest'integrale converge.
Ma forse quello che ti manca è proprio il suddetto Teorema, che spinge a riportarsi a un caso noto, in cui compare solamente una potenza di $x$: quando il punto in cui si presentano i "problemi" è all'infinito, solitamente si usano gli ordini di infinito come ho fatto sopra, per ridursi ad una potenza nota; quando invece il punto di discontinuità è altrove, si usano spesso i limiti notevoli (et sviluppi di Taylor etc. etc.)
"Frink":
E' banale la verifica che
limx−>+∞xex2=0
e quindi, per il teorema sugli ordini di infinitesimo studiato per la convergenza degli integrali impropri,
Non l'ho fatto questo teorema... Ma forse in effetti bastava fare:
Funzione asintotica a $1/(sqrt(e^x)(xlog(x)))$, a sua volta $< 1/(sqrt(e^x)x) < 2/x^2$.
Ti ringrazio (in ritardo: scusami
) per la risposta!
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