Consiglio su una serie
Salve a tutti, sono bloccato su questa serie
$ sum_(n = \1) (2^(n/(n+1))-1)/(n^(p+3)) $
ho provato col criterio della radice, rapporto e credo che anche Raabe non porti da nessuna parte.
Mi è stato consigliato di usare il confronto con l'armonica generalizzata $ sum1/n^k $, penso per poi arrivare allo studio di un limite nella forma $ lim_(n -> oo)(a^x-1)/ x $ però non capisco come procedere.
verrebbe una cosa di questo tipo
$ sum_(n = \1) (2^(n/(n+1))-1)/(n^(p+3)) (n^k) $
che non capisco poi dove porterebbe. Qualche consiglio?
$ sum_(n = \1) (2^(n/(n+1))-1)/(n^(p+3)) $
ho provato col criterio della radice, rapporto e credo che anche Raabe non porti da nessuna parte.
Mi è stato consigliato di usare il confronto con l'armonica generalizzata $ sum1/n^k $, penso per poi arrivare allo studio di un limite nella forma $ lim_(n -> oo)(a^x-1)/ x $ però non capisco come procedere.
verrebbe una cosa di questo tipo
$ sum_(n = \1) (2^(n/(n+1))-1)/(n^(p+3)) (n^k) $
che non capisco poi dove porterebbe. Qualche consiglio?
Risposte
Essendo una serie a termin positivi, e considerando che
\[\lim_{n\to+\infty}2^{\frac{n}{n+1}}-1=1,\]
hai che il termine generale della serie si comporta asintoticamente come:
\[\frac{2^{\frac{n}{n+1}}-1}{n^{p+3}}\sim \frac{1}{n^{p+3}}.\]
\[\lim_{n\to+\infty}2^{\frac{n}{n+1}}-1=1,\]
hai che il termine generale della serie si comporta asintoticamente come:
\[\frac{2^{\frac{n}{n+1}}-1}{n^{p+3}}\sim \frac{1}{n^{p+3}}.\]
E quindi essendo $ 1/(n^(p+3)) $ convergente per p > -2 lo sarà anche la serie per quei valori.
Ma tutto ciò però lo dovrei dimostrare risolvendo il limite
$ lim_(x->oo)((2^(n/(n+1))-1)/(n^(p+3)) (n^k)) $
no?
Ma tutto ciò però lo dovrei dimostrare risolvendo il limite
$ lim_(x->oo)((2^(n/(n+1))-1)/(n^(p+3)) (n^k)) $
no?
No, l'hai dimostrato facendo un confronto asintotico con la serie $1/n^(p+3).$
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