Consiglio su studio di un limite

[borador]

Ragazzi avete qualche consiglio per lo studio di questo limite?

[tex]\lim_{x \to \infty} x(e-\left( \frac{x+1}{x} \right)^x)[/tex]

Ad occhio vedo che il termine dentro la parentesi tende a 0, in quanto [tex]\left( \frac{x+1}{x} \right)^x[/tex] tende ad [tex]e[/tex] se non mi sbaglio.
Quindi mi trovo di fronte a infinito per 0 forma indeterminata... e non so come procedere!
Mi date un'indicazione?

Grazie tante, e scusate se la formula è scritta male ma è la prima volta che ne scrivo una.

[FrederichN.]

Io ho risolto in maniera un pò noiosa ma veloce, mediante una sostituzione elementare, Hopital e uno sviluppo di Taylor .
Il risultato dovrebbe essere e/2.

Se ancora non va, non esitare a cheidere

[borador]

Si il risultato è corretto!
Però non ho capito i passaggi... saresti così gentile da illustrarmeli?

[FrederichN.]

Ecco qui :

Pongo x=1/y

Ottengo

$lim_(y->0) (e-(1+y)^(1/y))/y$ Per Hopital $lim_(y->0) ((1+y)^(1/y)) * ((1-(1/y+1)log(1+y))/((y^2)*(1/y+1)))$

Sviluppi il log ed operi le moltiplicazioni, ottenendo il limite nella forma:

$ e* ((y/2-(y^2)/2)/(y+y^2)) = ... $ Ovvie conclusioni ihih

[borador]

Grazie infinite! (io non ci sarei mai arrivato in questo modo!)
Ora ci ragiono un po'... in ogni caso grazie!

[fireball1]

Anche senza L'Hopital: [tex]\left(\frac{x+1}{x}\right)^x=e^{x\log\left(1+\frac{1}{x}\right)}[/tex], arresti lo sviluppo
di Taylor al second'ordine, sostituisci nel limite et voilà.