Consiglio su problema di Cauchy
Vorrei sapere se è corretto il mio metodo di risoluzione per il seguente problema di Cauchy. Non mi vi chiedo di controllare i calcoli ma solo di dirmi se c'è qualche errore nel mio procedimento. Dato:
$\{(y'' + y = t^2),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$
Ho cercato le radici dell'equazione caratteristica $\lambda^2 + 1 = 0$ ottenendo le soluzioni dell'omogenea $y'' + y = 0$ come $y_1(t)=sen(t)$ e $y_2(t)=cos(t)$. Ora so che tutte le soluzioni possono essere espresse come $y(t)=c_1 sen(t) + c_2 cos(t) + p(t)$ dove $p(t)=at^2 +bt +c$ è un polinomio. Cerco allora le derivate fino al secondo ordine di $p(t)$ e le vado a sostituire nell'equazione differenziale iniziale, ovvero $p''(t) + p(t) = t^2 \to 2a +at^2 +bt +c = t^2$. Ovviamnte ottengo quindi che $a=1$, $b=0$ e $c=-2$, ovvero il polinomio è $p(t)=t^2 - 2$. Quindi tutte le soluzioni dovrebbero essere della forma $y(t)=c_1 sen(t) + c_2 cos(t) + t^2 -2$.
Allora per rispettare le condizioni iniziali noto che ho $y(0)=c_2 - 2$ e $y'(0)= c_1$ quindi la mia soluzione rispetta le condizioni iniziali se $c_1 = 0$ e $c_2 = 2$ ovvero la soluzione è $y(t) = 2cos(t) + t^2 -2$.
È corretto? Grazie.
$\{(y'' + y = t^2),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$
Ho cercato le radici dell'equazione caratteristica $\lambda^2 + 1 = 0$ ottenendo le soluzioni dell'omogenea $y'' + y = 0$ come $y_1(t)=sen(t)$ e $y_2(t)=cos(t)$. Ora so che tutte le soluzioni possono essere espresse come $y(t)=c_1 sen(t) + c_2 cos(t) + p(t)$ dove $p(t)=at^2 +bt +c$ è un polinomio. Cerco allora le derivate fino al secondo ordine di $p(t)$ e le vado a sostituire nell'equazione differenziale iniziale, ovvero $p''(t) + p(t) = t^2 \to 2a +at^2 +bt +c = t^2$. Ovviamnte ottengo quindi che $a=1$, $b=0$ e $c=-2$, ovvero il polinomio è $p(t)=t^2 - 2$. Quindi tutte le soluzioni dovrebbero essere della forma $y(t)=c_1 sen(t) + c_2 cos(t) + t^2 -2$.
Allora per rispettare le condizioni iniziali noto che ho $y(0)=c_2 - 2$ e $y'(0)= c_1$ quindi la mia soluzione rispetta le condizioni iniziali se $c_1 = 0$ e $c_2 = 2$ ovvero la soluzione è $y(t) = 2cos(t) + t^2 -2$.
È corretto? Grazie.
Risposte
A me pare tutto giusto, ma aspetta qualche parere più autorevole.
Rimanendo in tema di equazioni differenziali, rilancio con questo:
Io ho $y'=y/t+1$ e devo mostrare che ogni sua soluzione $u:]0,\infty[\to +\mathbb R$ ha limite finito per $t\to 0^+$.
Avevo pensato di trovare la generica soluzione rifacendomi alla soluzione di equazioni differenziali della forma $y'=\frac{P(t,y)}{Q(t,y)}$ ma poi per concludere con questo metodo devo utilizzare le condizioni iniziali che in questo caso non ho. Come posso fare? Considero una condizione iniziale generica $y(t_0)=\alpha$ oppure esistono altri metodi?
Grazie.
Io ho $y'=y/t+1$ e devo mostrare che ogni sua soluzione $u:]0,\infty[\to +\mathbb R$ ha limite finito per $t\to 0^+$.
Avevo pensato di trovare la generica soluzione rifacendomi alla soluzione di equazioni differenziali della forma $y'=\frac{P(t,y)}{Q(t,y)}$ ma poi per concludere con questo metodo devo utilizzare le condizioni iniziali che in questo caso non ho. Come posso fare? Considero una condizione iniziale generica $y(t_0)=\alpha$ oppure esistono altri metodi?
Grazie.
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