Consiglio per un integrale...
Salve a tutti, svolgendo un integrale sono arrivato a risolvere:
$\int_{0}^{(3\pi)/2} [-6cos^2t*sint-(1/2)*sin^2t+(1/2)*cos^4t]*dt$
che ho successivamente diviso in tre integrali definiti ed ho risolto le prime due parti in questo modo:
$-6[- (cos^3t)/3]-1/2*[t/2-sin(2t)/4]+\int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^4t*dt$
ora per la terza parte ho un dubbio... io comunque ho svolto come segue (scriverò solo lo svolgimento della terza parte tralasciando le prime due parti già svolte):
$\int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^4t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^2t*cos^2t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*(1-sin^2t)*cos^2t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^2t*dt - \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*sin^2t*cos^2t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*[t/2-sin(2t)/4]*dt - \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*[1/8*(t-sin(4t)/4)]*dt$
è giusto o sbagliato come ragionamento? Grazie mille per l'attenzione e la pazienza!
$\int_{0}^{(3\pi)/2} [-6cos^2t*sint-(1/2)*sin^2t+(1/2)*cos^4t]*dt$
che ho successivamente diviso in tre integrali definiti ed ho risolto le prime due parti in questo modo:
$-6[- (cos^3t)/3]-1/2*[t/2-sin(2t)/4]+\int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^4t*dt$
ora per la terza parte ho un dubbio... io comunque ho svolto come segue (scriverò solo lo svolgimento della terza parte tralasciando le prime due parti già svolte):
$\int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^4t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^2t*cos^2t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*(1-sin^2t)*cos^2t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^2t*dt - \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*sin^2t*cos^2t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*[t/2-sin(2t)/4]*dt - \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*[1/8*(t-sin(4t)/4)]*dt$
è giusto o sbagliato come ragionamento? Grazie mille per l'attenzione e la pazienza!
Risposte
Il risultato del terzo integrale dovrebbe essere questo e i tuoi passaggi mi sembrano corretti!
$I=(12*x + 8*Sin[2*x] + Sin[4*x])/64$
Coincide con la soluzione??
$I=(12*x + 8*Sin[2*x] + Sin[4*x])/64$
Coincide con la soluzione??
Scusa!
Il risultato è:
$(12*x + 8*sin(2*x)+ sin(4*x))/64$
Il risultato è:
$(12*x + 8*sin(2*x)+ sin(4*x))/64$
purtroppo la soluzione non mi è stata data... comunque a me il risultato viene: $-(3\pi)/32$ ...ovviamente sostituendo a tutti i termini con la "t" sia quelli del calcolo delle prime due porzioni e poi anche alla terza, dell'integrale principale, il dominio di integrazione ${(3\pi)/2 ; 0}$ ed il risultato sinceramente non mi convince...non so perché....ho provato a fare una verifica applicando le formule di Green-Gauss e il risultato è ben diverso....non so.... 
Potresti postare anche l'integrale di partenza?? Vorrei provare a farlo anche io!
l'integrale di partenza è sostanzialmente quello che ho scritto all'inizio del primo post... ho soltanto fatto delle semplici moltiplicazioni per risolvere alcune parentesi...ma se proprio ne senti il bisogno ti riscrivo la traccia...
comunque quello che a me interessava sapere a prescindere dalla soluzione finale era la correttezza dello svolgimento con la sostituzione $cos^2t = (1-sin^2t)$ nell'integrale e il successivo svolgimento che qui riporto ancora una volta:
$\int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^4t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^2t*cos^2t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*(1-sin^2t)*cos^2t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^2t*dt - \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*sin^2t*cos^2t*dt = 1/2*[t/2-sin(2t)/4]*dt - 1/2*[1/8*(t-sin(4t)/4)]*dt$ ; $t in [0, (3\pi)/2]$
$\int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^4t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^2t*cos^2t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*(1-sin^2t)*cos^2t*dt = \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*cos^2t*dt - \int_{0}^{(3\pi)/2} 1/2*sin^2t*cos^2t*dt = 1/2*[t/2-sin(2t)/4]*dt - 1/2*[1/8*(t-sin(4t)/4)]*dt$ ; $t in [0, (3\pi)/2]$
approfitto di questo post per un nuovo quesito (per non crearne uno nuovo inutilmente) se io ho la forma parametrica di un'ellisse:
$\{(x(t)=cost),(y(t)=2+1/2*sint):}$
e la voglio scrivere sempre in forma parametrica ma in coordinate polari ...si scrive così?
$\{(x(t)=\rhocos\theta),(y(t)=2+1/2*\rhosin\theta):}$
$\{(x(t)=cost),(y(t)=2+1/2*sint):}$
e la voglio scrivere sempre in forma parametrica ma in coordinate polari ...si scrive così?
$\{(x(t)=\rhocos\theta),(y(t)=2+1/2*\rhosin\theta):}$
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