Consiglio calcolo di un limite
devo risolvere questo limite.
determinare a,b,c per i quali il limite
$ lim_(x -> 0) (sin (5x-x^2)+sin(5x+x^2)-ax^3-bx^2-cx )/( cos x -1+(1/2)x^2) $
è un numero finito. Calcolare il limite.
noto che ho delle funzioni goniometriche al numeratore e che il limite tende $x -> 0$ la mia idea è intanto di utilizzare le formule di addizione e sottrazione delle funzioni goniometriche al numeratore quindi:
$ lim_(x -> 0)(sin(5x)*cos(x^2)-sin(x^2)*cos(5x)+sin(5x)*cos(x^2)+sin(x^2)*cos(5x)-ax^3-bx^2-cx)/(cosx -1+(1/2)x^2) $
effettuo le semplicazioni:
$ lim_(x -> 0)(sin(5x)*cos(x^2)+sin(5x)*cos(x^2)-ax^3-bx^2-cx)/(cosx -1+(1/2)x^2) $
ora ho che per $x->0$
$lim_(x -> 0)([5*sin(0)]*cos(0)+[5*sin(0)]*cos(0)-ax^3-bx^2-cx)/(cosx -1(1/2)x^2)=lim_(x -> 0)((5*0)*1+(5*0)*1-ax^3-bx^2-cx)/(1-1(1/2)x^2)=$
$lim_(x -> 0)((-ax^3-bx^2-cx)*2)/(x^2)=lim_(x -> 0)(-2ax^3-2bx^2-2cx)/(x^2)$
determinare a,b,c per i quali il limite
$ lim_(x -> 0) (sin (5x-x^2)+sin(5x+x^2)-ax^3-bx^2-cx )/( cos x -1+(1/2)x^2) $
è un numero finito. Calcolare il limite.
noto che ho delle funzioni goniometriche al numeratore e che il limite tende $x -> 0$ la mia idea è intanto di utilizzare le formule di addizione e sottrazione delle funzioni goniometriche al numeratore quindi:
$ lim_(x -> 0)(sin(5x)*cos(x^2)-sin(x^2)*cos(5x)+sin(5x)*cos(x^2)+sin(x^2)*cos(5x)-ax^3-bx^2-cx)/(cosx -1+(1/2)x^2) $
effettuo le semplicazioni:
$ lim_(x -> 0)(sin(5x)*cos(x^2)+sin(5x)*cos(x^2)-ax^3-bx^2-cx)/(cosx -1+(1/2)x^2) $
ora ho che per $x->0$
$lim_(x -> 0)([5*sin(0)]*cos(0)+[5*sin(0)]*cos(0)-ax^3-bx^2-cx)/(cosx -1(1/2)x^2)=lim_(x -> 0)((5*0)*1+(5*0)*1-ax^3-bx^2-cx)/(1-1(1/2)x^2)=$
$lim_(x -> 0)((-ax^3-bx^2-cx)*2)/(x^2)=lim_(x -> 0)(-2ax^3-2bx^2-2cx)/(x^2)$
Risposte
Arrivato qui
visto che la $x\rightarrow 0$ io userei gli sviluppi di McLaurin
"Roberto81":
effettuo le semplicazioni:
$ lim_(x -> 0)(sin(5x)*cos(x^2)+sin(5x)*cos(x^2)-ax^3-bx^2-cx)/(cosx -1+(1/2)x^2) $
visto che la $x\rightarrow 0$ io userei gli sviluppi di McLaurin
Ciao.
Intanto le due funzioni seno che hai a numeratore le trasformi molto più velocemente con la formula di prostaferesi per la somma di seni: $\sin p + \sin q = 2* \sin ((p+q)/2) \cos ((p-q)/2)$ che ti dà subito
$\sin (5x+x^2)+\sin (5x-x^2)=2* \sin (5x) \cos (x^2)$.
Poi il passaggio che fai qua:
a mio avviso è del tutto arbitrario, non puoi sostituire $x=0$ in alcuni termini a tua scelta e non in altri. Per esempio, se nel limite: [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\not{x}(x+1)}{\not{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}(x+1)=1[/tex] facessi come hai fatto tu :
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+0}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}x=0[/tex]
Se hai già visto gli sviluppi in polinomi di Taylor / McLaurin è il caso di usarli...
Intanto le due funzioni seno che hai a numeratore le trasformi molto più velocemente con la formula di prostaferesi per la somma di seni: $\sin p + \sin q = 2* \sin ((p+q)/2) \cos ((p-q)/2)$ che ti dà subito
$\sin (5x+x^2)+\sin (5x-x^2)=2* \sin (5x) \cos (x^2)$.
Poi il passaggio che fai qua:
"Roberto81":
ora ho che per $x->0$
$lim_(x -> 0)([5*sin(0)]*cos(0)+[5*sin(0)]*cos(0)-ax^3-bx^2-cx)/(cosx -1(1/2)x^2)=lim_(x -> 0)((5*0)*1+(5*0)*1-ax^3-bx^2-cx)/(1-1(1/2)x^2)=$
a mio avviso è del tutto arbitrario, non puoi sostituire $x=0$ in alcuni termini a tua scelta e non in altri. Per esempio, se nel limite: [tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\not{x}(x+1)}{\not{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}(x+1)=1[/tex] facessi come hai fatto tu :
[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+0}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}x=0[/tex]
Se hai già visto gli sviluppi in polinomi di Taylor / McLaurin è il caso di usarli...
grazie mille a tutti per le risposta tempestiva.... in conclusione fino a dove ho svolto va bene a patto di non sostituire il valore di x per non imbattere in errori e poi terminare con Taylor o McLaurin.
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