Consigli su studio di funzioni
Salve,
avrei bisogno, se possibile, di qualche esercizio (per Analisi 1) già svolto per capire lo studio di funzioni... cioè alcune funzioni tipo queste:
$f(x)=exp((1-x^2)/|3-x|)$
oppure
$f(x)=cos ((e^x-1)/(e^x+1))$
oppure
$f(x)= (x-3)/(x+1)+log|1+x|$
Mi potreste indicare non so qualche dispensa o qualche link su questo argomento, per favore?
Perché ho provato ad esempio a svolgere queste 3 funzioni ma la seconda che presenta un coseno non so proprio da dove rifarmi (a parte il dominio e la derivata che riesco a farle)... ma anche eguagliare la derivata a zero per cercare i punti stazionari e poi i massimi e minimi mi risulta difficile... oppure dove la funzione si annulla o ci sono gli asintoti... qualche suggerimento?
avrei bisogno, se possibile, di qualche esercizio (per Analisi 1) già svolto per capire lo studio di funzioni... cioè alcune funzioni tipo queste:
$f(x)=exp((1-x^2)/|3-x|)$
oppure
$f(x)=cos ((e^x-1)/(e^x+1))$
oppure
$f(x)= (x-3)/(x+1)+log|1+x|$
Mi potreste indicare non so qualche dispensa o qualche link su questo argomento, per favore?
Perché ho provato ad esempio a svolgere queste 3 funzioni ma la seconda che presenta un coseno non so proprio da dove rifarmi (a parte il dominio e la derivata che riesco a farle)... ma anche eguagliare la derivata a zero per cercare i punti stazionari e poi i massimi e minimi mi risulta difficile... oppure dove la funzione si annulla o ci sono gli asintoti... qualche suggerimento?
Risposte
Un esercizio simile alla prima è qui
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... one_%24f(x)%3de%5E%7B(4x%5E2-9)%10(|x|-1)%7D%24_200801022550/
PS. Se clicchi non esce il vero link, copia e incolla tutta la riga!
Qui ce ne sono veramente tanti
http://www.extrabyte.info/2009/05/04/st ... zi-svolti/
(Se hai Adobe Reader clicca su "Scarica gli esercizi in formato PDF")
E comunque per qualsiasi dubbio non esitare pure a chiedere qui! Ciaooo
https://www.matematicamente.it/esercizi_ ... one_%24f(x)%3de%5E%7B(4x%5E2-9)%10(|x|-1)%7D%24_200801022550/
PS. Se clicchi non esce il vero link, copia e incolla tutta la riga!
Qui ce ne sono veramente tanti
http://www.extrabyte.info/2009/05/04/st ... zi-svolti/
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E comunque per qualsiasi dubbio non esitare pure a chiedere qui! Ciaooo
ho provato a ragionare sul secondo esercizio non lo trovo particolarmente difficile basta avere l'accortezza di non studiare tutta la funzione ma solo l'argomento del coseno ottenendo così un primo grafico simile a una s infatti $\lim_{x\to\+oo}f(x)=1$ mentre $\lim_{x\to\-oo}f(x)=-1$ , la derivata prima non si annulla mai e la sua derivata seconda ha un unico punto 0 in $x=0$. Tracciata questa prima curva basta ricordare le proprietà del coseno ed è immediato tracciare di $ f(x) $ che presenta un massimo in $ x=0 $ e tende a $ cos (1) $ se $x ->oo$
Grazie 1000 leena!!! Veramente dei link utili!
Per la funzione del coseno non ho ben capito ancora gli asintoti...](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Allora se ho ben capito la spiegazione a fare il limite a più e meno infinito dovrei considerare solo l'argomento del coseno:
$\lim_{x \to \+infty}(e^x-1)/(e^x+1)$ prendo l'ordine superiore cioè $e^x/e^x$ (giusto?) e viene semplificando $1$
$\lim_{x \to \-infty}(e^x-1)/(e^x+1)$ e $e^x$ tende a $0$ quindi $(0-1)/(0+1)=-1$
ok, e viene una specie di s... ma non dovrei considerare anche il coseno? e cioè $cos(1)$ e $cos (-1)$ (non so quanto possano essere però)
Poi riguardo alle proprietà del coseno... non ho capito molto
io, poiché il coseno è periodico, avrei fatto gli asintoti verticali tra $-pi/2$ da destra e $3/4pi$ da sinistra perchè tanto la funzione si ripete sempre...
Non riesco proprio a capire
Per la funzione del coseno non ho ben capito ancora gli asintoti...
Allora se ho ben capito la spiegazione a fare il limite a più e meno infinito dovrei considerare solo l'argomento del coseno:
$\lim_{x \to \+infty}(e^x-1)/(e^x+1)$ prendo l'ordine superiore cioè $e^x/e^x$ (giusto?) e viene semplificando $1$
$\lim_{x \to \-infty}(e^x-1)/(e^x+1)$ e $e^x$ tende a $0$ quindi $(0-1)/(0+1)=-1$
ok, e viene una specie di s... ma non dovrei considerare anche il coseno? e cioè $cos(1)$ e $cos (-1)$ (non so quanto possano essere però)
Poi riguardo alle proprietà del coseno... non ho capito molto
io, poiché il coseno è periodico, avrei fatto gli asintoti verticali tra $-pi/2$ da destra e $3/4pi$ da sinistra perchè tanto la funzione si ripete sempre...Non riesco proprio a capire
Per quanto riguarda gli asintoti ottieni i valori $cos1$ e $cos(-1)$ che poi vale $cos(-1)=cos(1)$.
Quindi sia per $+infty$ che per $-infty$ si ha l'asintoto orizzontale $y=cos1$ che vale all'incirca 1 (0,9998476951)
Quindi sia per $+infty$ che per $-infty$ si ha l'asintoto orizzontale $y=cos1$ che vale all'incirca 1 (0,9998476951)
Grazie ancora leena!
Ok, asintoti orizzontali capiti!
Passo ai massimi e minimi e quindi alla derivata prima e ottengo:
$y'=-sin((e^x-1)/(e^x+1))*((2e^x)/(e^x+1))$
Se è giusta... la derivata si annulla quando $x=0$ no? poiché $e^0-1=0$ e $-sin0=0$...
Se fino a qui è corretto... come faccio adesso a capire se c'è un massimo o minimo cioè svolgere:
$y'=-sin((e^x-1)/(e^x+1))>=0$ ?
Cosa ho pensato: la frazione presenta l'esponenziale dunque è sempre $>0$ ... però non so come comportarmi perché ho anche $-sin$ ! Come dovrei fare?
Ok, asintoti orizzontali capiti!
Passo ai massimi e minimi e quindi alla derivata prima e ottengo:
$y'=-sin((e^x-1)/(e^x+1))*((2e^x)/(e^x+1))$
Se è giusta... la derivata si annulla quando $x=0$ no? poiché $e^0-1=0$ e $-sin0=0$...
Se fino a qui è corretto... come faccio adesso a capire se c'è un massimo o minimo cioè svolgere:
$y'=-sin((e^x-1)/(e^x+1))>=0$ ?
Cosa ho pensato: la frazione presenta l'esponenziale dunque è sempre $>0$ ... però non so come comportarmi perché ho anche $-sin$ ! Come dovrei fare?
La derivata prima è sbagliata. Infatti si ha:
$y'=-sin(\frac{e^x-1}{e^x+1})*\frac{2e^x}{(e^x+1)^2}$
Ad ogni modo ponendola maggiore di 0 il secondo termine è ininfluente e, come hai scritto tu, devi risolvere
$y'=-sin(\frac{e^x-1}{e^x+1})>=0$
Io ragionerei così: $y'$ è maggiore di zero se
$sin(\frac{e^x-1}{e^x+1})<=0$
Risolvi questa disequazione e le zone che ti verranno fuori negative saranno quelle dove in realtà la derivata è positiva.
$y'=-sin(\frac{e^x-1}{e^x+1})*\frac{2e^x}{(e^x+1)^2}$
Ad ogni modo ponendola maggiore di 0 il secondo termine è ininfluente e, come hai scritto tu, devi risolvere
$y'=-sin(\frac{e^x-1}{e^x+1})>=0$
Io ragionerei così: $y'$ è maggiore di zero se
$sin(\frac{e^x-1}{e^x+1})<=0$
Risolvi questa disequazione e le zone che ti verranno fuori negative saranno quelle dove in realtà la derivata è positiva.
Il problema è che non so risolverla...Cioè io considererei $sinx<=0$ tralasciando ciò che è tra parentesi ma non so se sia giusto...
Quindi $sinx$ è positivo di periodo $kpi$ ad esempio tra $0$ e $pi$ ed in questo intervallo si ha un massimo in $pi/2$...
Ma essendoci l'esponenziale non so se sia così...
Oppure avevo pensato ad una cosa del genere: (non so se è matematicamente corretto...)
$sin((e^x-1)/(e^x+1))<=0$
$((e^x-1)/(e^x+1))<=pi$ dato che il periodo in cui il seno è positivo è $pi$ o forse dovevo prendere quando $sinx<=0$? (anche se è comunque di periodo $pi$)
$e^x-1<=pi(e^x+1)$
$e^x(1-pi)<=pi+1$
$x<=log((pi+1)/(1-pi))$ e quindi in $log((pi+1)/(1-pi))$ c'è un massimo...
Come faccio? è corretto fare così?
$sint<=0\Rightarrow\pi<=t<=2\pi$ ovviamente escludento la periodicità
Nel nostro caso quindi si ha:
$\pi<=\frac{e^x-1}{e^x+1}<=2\pi$ che equivale a
$\frac{e^x-1}{e^x+1}>=\pi nn \frac{e^x-1}{e^x+1}<=2\pi$
Considerando solo la prima, ancora
$\frac{e^x-1}{e^x+1}-\pi>=0\Rightarrow\frac{e^x(1-\pi)-(1+\pi)}{e^x+1}>=0
Penso che ora sai proseguire (poni num e dem maggiori di zero + regola dei segni). Ripeti per l'altro, intersechi e fatto.
Nel nostro caso quindi si ha:
$\pi<=\frac{e^x-1}{e^x+1}<=2\pi$ che equivale a
$\frac{e^x-1}{e^x+1}>=\pi nn \frac{e^x-1}{e^x+1}<=2\pi$
Considerando solo la prima, ancora
$\frac{e^x-1}{e^x+1}-\pi>=0\Rightarrow\frac{e^x(1-\pi)-(1+\pi)}{e^x+1}>=0
Penso che ora sai proseguire (poni num e dem maggiori di zero + regola dei segni). Ripeti per l'altro, intersechi e fatto.
Ok, grazie per la pazienza! Penso di aver capito come fare!
Allora continuando la prima, riguardo al numeratore ho $e^x>=(1+pi)/(1-pi)$ quindi è sempre maggiore o uguale a quella quantità (poiché è una quantità negativa)!
Il denominatore stesso ragionamento $e^x>(-1)$ e la soluzione è sempre maggiore di -1...
Quindi soluzione di questa prima disequazione è che la funzione è Sempre Crescente...!
Con il secondo pongo $(e^x-1)/(e^x+1)<=2pi$ e quindi $(e^x(1-2pi)-(1+2pi))/(e^x+1)<=0$
Dunque anche qui non è mai minore di zero né il numeratore né il denominatore e quindi per i segni la funzione continua a essere Sempre Crescente...
Soluzione non ha massimi e minimi perché la funzione cresce sempre tra $pi$ e $2pi$ mentre decresce tra $0$ e $pi/2$ e decrese ancora da $2pi$ all'infinito giustificando così anche l'asintoto orizzontale in $cos1$ ; giusto?
A questo punto la disegno e sfrutto il fatto che il coseno è funzione pari e ribalto la funzione da $[0,+oo)$ rispetto l'asse y e tornerebbe anche con l'asintoto orizzontale $cos(1)$
Adesso provo a vedere cercando di disegare dove si annulla... ok, ho diseganto la funzione e quindi disegnando la curva di $1-e^x$ e quella di $e^x+1$ e se non ho sbagliato si annulla dove si incontrano cioè in $x=0$ con il coseno invece non si incontrano mai! Ok?
Allora continuando la prima, riguardo al numeratore ho $e^x>=(1+pi)/(1-pi)$ quindi è sempre maggiore o uguale a quella quantità (poiché è una quantità negativa)!
Il denominatore stesso ragionamento $e^x>(-1)$ e la soluzione è sempre maggiore di -1...
Quindi soluzione di questa prima disequazione è che la funzione è Sempre Crescente...!
Con il secondo pongo $(e^x-1)/(e^x+1)<=2pi$ e quindi $(e^x(1-2pi)-(1+2pi))/(e^x+1)<=0$
Dunque anche qui non è mai minore di zero né il numeratore né il denominatore e quindi per i segni la funzione continua a essere Sempre Crescente...
Soluzione non ha massimi e minimi perché la funzione cresce sempre tra $pi$ e $2pi$ mentre decresce tra $0$ e $pi/2$ e decrese ancora da $2pi$ all'infinito giustificando così anche l'asintoto orizzontale in $cos1$ ; giusto?
A questo punto la disegno e sfrutto il fatto che il coseno è funzione pari e ribalto la funzione da $[0,+oo)$ rispetto l'asse y e tornerebbe anche con l'asintoto orizzontale $cos(1)$Adesso provo a vedere cercando di disegare dove si annulla... ok, ho diseganto la funzione e quindi disegnando la curva di $1-e^x$ e quella di $e^x+1$ e se non ho sbagliato si annulla dove si incontrano cioè in $x=0$ con il coseno invece non si incontrano mai! Ok?
Se vuoi puoi andare avanti facendo calcoli ma quando ho scritto ricordarti delle proprietà del coseno intenjdevo questo se l'aorgomento del coseno varia come detto precedentemente basta studiare la funzione $ cos(\varphi)$ per angoli che vanno da $ -\pi/3 < \varphi<\pi/3$ dove $ \pi / 3=1 rad $ Quell'uno che era stato trovato come limite. La funzione trovata come argomento è crescente continuamente e presenta un solo 0 in $x=0$ dove appuntoil coseno ha un massimo. Ora l'andamento della tua curva sarà quello di una cosinusoide tra $ -\pi/3$ < \varphi<\pi/3$ dove $\pi/3=1 rad $ occorrono molti calcoli per disegnarla?
Adesso più o meno ho capito il tuo ragionamento serpo50... il problema è che io non ci sarei mai arrivata alla tua spiegazione 
sarebbe stato molto più facile con il tuo ragionamento però... non mi resta che fare i calcoli in queste situazioni allora...
Comunque il ragionamento del mio precedente post è giusto?8-[
Il tuo ragionamento è giusto ma francamente a volte è meglio arrivare alla soluzione usando ragionamenti 'laterali' risparmiando tempio ed errori!.
Con il tuo ragionamento considerato la derivata doppia puoi calcolare i punti di flesso. e quindi disegnare finalomente la tua funzione...
Con il tuo ragionamento considerato la derivata doppia puoi calcolare i punti di flesso. e quindi disegnare finalomente la tua funzione...
Hai perfettamente ragione serpo50! Mi dovrò esercitare perché per me non sono poi così "evidenti"!
Grazie a tutti: serpo50, leena, K.Lomax per l'aiuto, le spiegazioni molto chiare e la pazienza!
Grazie a tutti: serpo50, leena, K.Lomax per l'aiuto, le spiegazioni molto chiare e la pazienza!
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