Consigli risoluzione integrali
Salve ragazzi. Avrei bisogno di alcuni consigli per la risoluzione di alcuni tipi di integrali. In particolare
$1)$ $int 1/(x^4+1) dx$. Per risolvere questo integrale ho prima completato il quadrato $(x^2)^2+1+2x^2-2x^2 = (x^2+1)^2-2x^2$ e poi l'ho visto come somma per differenza da cui $(x^2+1+2sqrt2x)(x^2+1-2sqrt2x)$. Quindi ho proceduto col metodo dei fratti semplici.
Volevo sapere se questa è la via migliore o ci sono sistemi che riducono la mole di calcoli o in generale accorgimenti
$2)$ $int x^2/(x+3)^6 dx$. Per quanto riguarda questo integrale volevo sempre sapere la via migliore per il calcolo. Devo per forza fattorizzare e riscrivere la frazione come somma di 6 frazioni? Non so magari posso applicare i fratti a $int (x/(x+3)^3)^2 dx$ però poi mi troverei cosa? un quadrato di tre polinomi ?
$3)$ Quando ho integrali che presentano somme con radici ai denominatori come ad esempio $int 1/(x(4+x+\sqrt(2x+1))) dx$ che tipo di sostituzioni devo fare?
E se avessi al denominatore somme tipo $x+\sqrt(x^2+2x-3)$ Posso applicare le sostituzioni di Eulero?
Grazie a tutti!
$1)$ $int 1/(x^4+1) dx$. Per risolvere questo integrale ho prima completato il quadrato $(x^2)^2+1+2x^2-2x^2 = (x^2+1)^2-2x^2$ e poi l'ho visto come somma per differenza da cui $(x^2+1+2sqrt2x)(x^2+1-2sqrt2x)$. Quindi ho proceduto col metodo dei fratti semplici.
Volevo sapere se questa è la via migliore o ci sono sistemi che riducono la mole di calcoli o in generale accorgimenti
$2)$ $int x^2/(x+3)^6 dx$. Per quanto riguarda questo integrale volevo sempre sapere la via migliore per il calcolo. Devo per forza fattorizzare e riscrivere la frazione come somma di 6 frazioni? Non so magari posso applicare i fratti a $int (x/(x+3)^3)^2 dx$ però poi mi troverei cosa? un quadrato di tre polinomi ?
$3)$ Quando ho integrali che presentano somme con radici ai denominatori come ad esempio $int 1/(x(4+x+\sqrt(2x+1))) dx$ che tipo di sostituzioni devo fare?
E se avessi al denominatore somme tipo $x+\sqrt(x^2+2x-3)$ Posso applicare le sostituzioni di Eulero?
Grazie a tutti!
Risposte
(1) Quell'integrale è notoriamente brutto. L'approccio standard è quello che hai proposto tu. C'è un modo per calcolare quell'integrale in maniera intelligente, ma è abbastanza sofisticato:
$$\frac{1}{1+x^4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+1-x^2+1}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+1}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}-\frac{x^2-1}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}-\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}\right)$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{1}{x^2}+1}{x^2+\frac{1}{x^2}}-\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{1}{x^2}+1}{x^2+\frac{1}{x^2}+2-2}-\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}+2-2}\right)$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}-\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}\right)$$
Quindi:
$$\int \frac{1}{1+x^4}\text{d}x=\frac{1}{2}\int \frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}\text{d}x-\frac{1}{2}\int \frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}\text{d}x$$
Ora, ponendo $t=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x-\frac{1}{x}\right)$ nel primo integrale ed $s=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+\frac{1}{x}\right)$ nel secondo integrale, ci si riconduce ad un integrale di un'arcotangente e un integrale in fratti semplici quasi immediato.
(2) Prova per parti, integrando $\frac{1}{(x+3)^6}$ e derivando $x^2$, per poi scrivere:
$$\frac{2x}{5(x+3)^5}=\frac{2}{5}\left(\frac{1}{(x+3)^4}-\frac{3}{(x+3)^5}\right)$$
(3) A parte porre $t=\sqrt{2x+1}$ non vedo, al momento, strade più veloci. Puoi provare a razionalizzare e vedere che succede.
Nel caso in cui compaia la somma $x+\sqrt{x^2-2x-3}$ al denominatore, a parte il fatto che non ho mai più utilizzato le sostituzioni di Eulero dopo analisi $1$, potresti ragionare per simmetria. Nota che $x+\sqrt{x^2+2x-3}=x+\sqrt{(x-1)(x+3)}$. Geometricamente, spostando di un'unità a sinistra le rette di equazioni cartesiane $x=-1$ e $x=3$ otteniamo due rette simmetriche rispetto all'asse verticale del sistema di riferimento. Ciò suggerisce la sostituzione $x \to s-1$ (che non muta il differenziale), che conduce a $x+\sqrt{(x-1)(x+3)}=s-1+\sqrt{(s-2)(s+2)}=s-1+\sqrt{s^2-4}$. Ora, potrebbe funzionare porre $s=2\cosh u$ per sbarazzarsi della radice, o razionalizzare, o fare sostituzioni trigonometriche. Ma non sono andato oltre, quindi forse rimane proibitivo a causa del termine $s-1$.
$$\frac{1}{1+x^4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+1-x^2+1}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+1}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}-\frac{x^2-1}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}-\frac{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)}\right)$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{1}{x^2}+1}{x^2+\frac{1}{x^2}}-\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{1}{x^2}+1}{x^2+\frac{1}{x^2}+2-2}-\frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}+2-2}\right)$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}-\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}\right)$$
Quindi:
$$\int \frac{1}{1+x^4}\text{d}x=\frac{1}{2}\int \frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}\text{d}x-\frac{1}{2}\int \frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x+\frac{1}{x}\right)}{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2}\text{d}x$$
Ora, ponendo $t=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x-\frac{1}{x}\right)$ nel primo integrale ed $s=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+\frac{1}{x}\right)$ nel secondo integrale, ci si riconduce ad un integrale di un'arcotangente e un integrale in fratti semplici quasi immediato.
(2) Prova per parti, integrando $\frac{1}{(x+3)^6}$ e derivando $x^2$, per poi scrivere:
$$\frac{2x}{5(x+3)^5}=\frac{2}{5}\left(\frac{1}{(x+3)^4}-\frac{3}{(x+3)^5}\right)$$
(3) A parte porre $t=\sqrt{2x+1}$ non vedo, al momento, strade più veloci. Puoi provare a razionalizzare e vedere che succede.
Nel caso in cui compaia la somma $x+\sqrt{x^2-2x-3}$ al denominatore, a parte il fatto che non ho mai più utilizzato le sostituzioni di Eulero dopo analisi $1$, potresti ragionare per simmetria. Nota che $x+\sqrt{x^2+2x-3}=x+\sqrt{(x-1)(x+3)}$. Geometricamente, spostando di un'unità a sinistra le rette di equazioni cartesiane $x=-1$ e $x=3$ otteniamo due rette simmetriche rispetto all'asse verticale del sistema di riferimento. Ciò suggerisce la sostituzione $x \to s-1$ (che non muta il differenziale), che conduce a $x+\sqrt{(x-1)(x+3)}=s-1+\sqrt{(s-2)(s+2)}=s-1+\sqrt{s^2-4}$. Ora, potrebbe funzionare porre $s=2\cosh u$ per sbarazzarsi della radice, o razionalizzare, o fare sostituzioni trigonometriche. Ma non sono andato oltre, quindi forse rimane proibitivo a causa del termine $s-1$.
Ciao paolo1712,
Per l'integrale 1) concordo con quanto
Per tua fortuna è anche già stato risolto qualche tempo fa qui.
Per l'integrale 2) credo che la via più semplice per risolverlo sia porre $t := x + 3 \implies x = t - 3 \implies\text{d}x = \text{d}t $, poi naturalmente fai come preferisci...
Per l'integrale 3) invece concordo nuovamente con Mephlip in merito alla sostituzione $t := \sqrt{2x + 1} $
Per l'integrale 1) concordo con quanto
"Mephlip":
1) Quell'integrale è notoriamente brutto. L'approccio standard è quello che hai proposto tu.
Per tua fortuna è anche già stato risolto qualche tempo fa qui.
Per l'integrale 2) credo che la via più semplice per risolverlo sia porre $t := x + 3 \implies x = t - 3 \implies\text{d}x = \text{d}t $, poi naturalmente fai come preferisci...
Per l'integrale 3) invece concordo nuovamente con Mephlip in merito alla sostituzione $t := \sqrt{2x + 1} $
Intanto grazie ad entrambi per le risposte.
Effettivamente la risoluzione del primo integrale è fuori dalla mia portata. Non tanto per la difficoltà di calcolo quanto per il fatto che sembra si debba sapere dove andare a parare. Sembra una risoluzione sensata a posteriori, dopo aver risolto almeno una volta l'integrale per "vie traverse" come la mia. Però è molto bella, cercherò di farne tesoro.
Per il 2) con $t=x+3$ si risolve praticamente all'istante, provo per parti
Per quanto riguarda il 3) effettivamente sono giunto a conclusione con $t=\sqrt(2x+1)$ però è venuto fuori un sistema noioso da risolvere.
Per quanto riguarda l'ultimo con il coseno iperbolico non sono sicuro. Trovo $2sinh u /(2cosh u +2sinh u -1) $ Potrei sostituire con $cosh u= (e^u+e^-u)/2$ ecc. e poi sostituire nuovamente $z=e^u$ ? Poi dovrei mettere il valore assoluto al seno iperbolico? Dovrei studiare due integrali distinti?
Effettivamente la risoluzione del primo integrale è fuori dalla mia portata. Non tanto per la difficoltà di calcolo quanto per il fatto che sembra si debba sapere dove andare a parare. Sembra una risoluzione sensata a posteriori, dopo aver risolto almeno una volta l'integrale per "vie traverse" come la mia. Però è molto bella, cercherò di farne tesoro.
Per il 2) con $t=x+3$ si risolve praticamente all'istante, provo per parti
Per quanto riguarda il 3) effettivamente sono giunto a conclusione con $t=\sqrt(2x+1)$ però è venuto fuori un sistema noioso da risolvere.
Per quanto riguarda l'ultimo con il coseno iperbolico non sono sicuro. Trovo $2sinh u /(2cosh u +2sinh u -1) $ Potrei sostituire con $cosh u= (e^u+e^-u)/2$ ecc. e poi sostituire nuovamente $z=e^u$ ? Poi dovrei mettere il valore assoluto al seno iperbolico? Dovrei studiare due integrali distinti?
No ripensandoci non c'è bisogno di alcuna sostituzione del tipo $z=e^u$ con qualche conto trovo
$1/2(int du - int 1/e^(2u) du) = 1/2 arccosh(s/2) + 1/4 e^(-2(arccosh(s/2))$ che ancora dovrebbe essere
$1/2 log((x+1)/2+\sqrt((x+1)^2/4 -1)) +1/4((x+1)/2+\sqrt((x+1)^2/4 -1))^-2 + C$
Ora provo a sistemare un po' e vedo se riesco a ricondurmi al risultato che è
$1/2(\sqrt(x^2+2x-3))-x/2-3/2log|sqrt(x^2+2x-3)-x+3| -1/2log|sqrt(x^2+2x-3)-x-1|+C$
Anche se non sono molto convinto
$1/2(int du - int 1/e^(2u) du) = 1/2 arccosh(s/2) + 1/4 e^(-2(arccosh(s/2))$ che ancora dovrebbe essere
$1/2 log((x+1)/2+\sqrt((x+1)^2/4 -1)) +1/4((x+1)/2+\sqrt((x+1)^2/4 -1))^-2 + C$
Ora provo a sistemare un po' e vedo se riesco a ricondurmi al risultato che è
$1/2(\sqrt(x^2+2x-3))-x/2-3/2log|sqrt(x^2+2x-3)-x+3| -1/2log|sqrt(x^2+2x-3)-x-1|+C$
Anche se non sono molto convinto
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