Consigli per questo limite??
\(\displaystyle \lim x \rightarrow 0 \)
[size=150]\(\displaystyle \frac{1}{x} \)\(\displaystyle [\sqrt[3]{\frac{1 - \sqrt[2]{1-x}}{\sqrt[2]{1 + x} -1 }} -1] \)[/size]
devo fare lo sviluppo di taylor di \(\displaystyle \sqrt[2]{1-x} \) e \(\displaystyle \sqrt[2]{1 + x} \)??? come lo fareste?
[size=150]\(\displaystyle \frac{1}{x} \)\(\displaystyle [\sqrt[3]{\frac{1 - \sqrt[2]{1-x}}{\sqrt[2]{1 + x} -1 }} -1] \)[/size]
devo fare lo sviluppo di taylor di \(\displaystyle \sqrt[2]{1-x} \) e \(\displaystyle \sqrt[2]{1 + x} \)??? come lo fareste?
Risposte
$lim_(x -> 0) (1 - sqrt( 1 - x))/( sqrt( 1 + x ) - 1) = 1$
Io proverei, come prima idea, a scrivere $(1 - sqrt( 1 - x))/( sqrt( 1 + x ) - 1)$ come $h(x) + 1$ con $h(x) -> 0$ per $x -> 0$.
Così sei nella situazione giusta per applicare il limite notevole $lim_(y -> 0 ) (( 1 + y )^k - 1)/y = k$...
Prova.
Io proverei, come prima idea, a scrivere $(1 - sqrt( 1 - x))/( sqrt( 1 + x ) - 1)$ come $h(x) + 1$ con $h(x) -> 0$ per $x -> 0$.
Così sei nella situazione giusta per applicare il limite notevole $lim_(y -> 0 ) (( 1 + y )^k - 1)/y = k$...
Prova.
sembra una buona idea...il tuo obiettivo sarebbe quello di avere sotto la radice terza solamente \(\displaystyle h(x) \)...però per i momento non mi viene un modo per scriverla come \(\displaystyle h(x) +1 \)
razionalizzare è una pessima idea vero?
razionalizzare è una pessima idea vero?
Razionalizzare è l'unica strada, mio giovane Padawan! (cit.)
Ciò che si trova sotto la radice cubica, razionalizzato mi viene:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{1-x} + 1} \) ma ora come posso continuare?
\(\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{1-x} + 1} \) ma ora come posso continuare?
Gh! Ma che razionalizzazione del piffero hai fatto?
A denominatore dovrebbe sparire la radice...
$(1 - sqrt( 1 - x))/( sqrt( 1 + x ) - 1) = 1 + h(x)$
Quindi $ h(x) = (1 - sqrt( 1 - x))/( sqrt( 1 + x ) - 1) - 1 = (2 - sqrt( 1 - x) - sqrt( 1 + x))/( sqrt( 1 + x ) - 1)$
Adesso devi valutare più attentamente che infinitesimo è $h$... $(1 - sqrt( 1 - x) + 1 - sqrt( 1 + x))/x$
Ed ora sì che devi usare Taylor per sviluppare il numeratore di $h$.
A denominatore dovrebbe sparire la radice...
$(1 - sqrt( 1 - x))/( sqrt( 1 + x ) - 1) = 1 + h(x)$
Quindi $ h(x) = (1 - sqrt( 1 - x))/( sqrt( 1 + x ) - 1) - 1 = (2 - sqrt( 1 - x) - sqrt( 1 + x))/( sqrt( 1 + x ) - 1)$
Adesso devi valutare più attentamente che infinitesimo è $h$... $(1 - sqrt( 1 - x) + 1 - sqrt( 1 + x))/x$
Ed ora sì che devi usare Taylor per sviluppare il numeratore di $h$.
io invece avevo razionalizzato sia il denominatore che il numeratore...seneca ti ringrazo come sempre per la gentilezza che ogni volta dimostri di avere però non capisco dove vorresti arrivare...non comprendo il passaggio matematico di ciò che mi hai scitto nella prima risposta...non sono mica bravo come te!! 
\(\displaystyle \frac{1}{x} \)\(\displaystyle [\sqrt[3]{\frac{1 - \sqrt[2]{1-x}}{\sqrt[2]{1 + x} -1 }} -1] \)
Vorrei arrivare ad una forma del tipo $ 1/x * [ root(3)( 1 + h(x) ) - 1 ]$ (con $h(x)$ infinitesimo per $x -> 0$) in modo tale da sfruttare il limite notevole che ti ho citato nella prima risposta. Al nostro scopo occorre studiare $h(x)$, che è quello che ti ho scritto nel post precedente.
Al denominatore, banalmente, $sqrt( 1 + x ) - 1 sim x$. Al numeratore la faccenda è più complicata: usa Taylor e sviluppa $(2 - sqrt( 1 - x) - sqrt( 1 + x))$ ... Poi procediamo con il limite.
Vorrei arrivare ad una forma del tipo $ 1/x * [ root(3)( 1 + h(x) ) - 1 ]$ (con $h(x)$ infinitesimo per $x -> 0$) in modo tale da sfruttare il limite notevole che ti ho citato nella prima risposta. Al nostro scopo occorre studiare $h(x)$, che è quello che ti ho scritto nel post precedente.
"Seneca":
Quindi $ h(x) = (1 - sqrt( 1 - x))/( sqrt( 1 + x ) - 1) - 1 = (2 - sqrt( 1 - x) - sqrt( 1 + x))/( sqrt( 1 + x ) - 1)$
Al denominatore, banalmente, $sqrt( 1 + x ) - 1 sim x$. Al numeratore la faccenda è più complicata: usa Taylor e sviluppa $(2 - sqrt( 1 - x) - sqrt( 1 + x))$ ... Poi procediamo con il limite.
Quello che si vede è che (click) (tu puoi farti i conti per bene 
), cioè:
$lim_( x -> 0 ) (h(x))/x = 1/2$
Quindi il limite di partenza si può riscrivere così:
$lim_(x -> 0) [ root(3)( 1 + h(x) ) - 1 ]/x * (h(x))/(h(x)) = lim_(x -> 0) [ root(3)( 1 + h(x) ) - 1 ]/(h(x)) * (h(x))/x = 1/3 * 1/2$
), cioè:$lim_( x -> 0 ) (h(x))/x = 1/2$
Quindi il limite di partenza si può riscrivere così:
$lim_(x -> 0) [ root(3)( 1 + h(x) ) - 1 ]/x * (h(x))/(h(x)) = lim_(x -> 0) [ root(3)( 1 + h(x) ) - 1 ]/(h(x)) * (h(x))/x = 1/3 * 1/2$
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