Considerazioni sulle o di Landau

[5mrkv]

$1.$ Def Sia $A \subseteq \mathbb{R}, x_{0}\in D(A), x_{0}\in\overline{\mathbb{R}}$, e siano $f,g:A\rightarrow \mathbb{R}$. Se esistono $W\ni x_{0}$ ed una costante $M>0$ tali che
$|f(x)|\leq |g(x)| \forall x \in (A \text{\ } \{x_{0}\})\cap W$ scriveremo
\[
f(x)=O(g(x))\text{ per } x\rightarrow x_{0}
\]
Ora se $h(x)=(f(x) \/ g(x))\rightarrow \lambda$ per $x\rightarrow 0$ significa che
$\forall V_{\lambda} \exists W_{x_{0}}\ :f(x)\in V_{\lambda}\forall x \in W_{x_{0}}\text{\ }\{x_{0}\}$
$\forall S(\lambda,\epsilon) \exists T(x_{0},\delta)\ :f(x)\in S(\lambda,\epsilon)\forall x \in T(x_{0},\delta)\text{\ }\{x_{0}\}$
$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 : h(x)\inS(\lambda,\epsilon)$ se ...
$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 : \lambda-\epsilon E quindi fissato un certo $\overline{\epsilon}$ trovo $M>0$ t.c. valga la precedente, ma non il viceversa.

$2.$ Def Se esiste $\omega(x):A\rightarrow \mathbb{R}$ t.c. $f(x)=\omega(x)g(x)$ con $\omega(x)\rightarrow 0$ per $x \rightarrow x_{0}$ allora
\[
f(x)=o(g(x))
\]
Leggo che se $f(x)=o(g(x))\Rightarrow $ ho che $f(x)=O(g(x))$ ma allora, ovrebbe valere qualcosa come: se $f(x)=\omega(x)g(x) \Rightarrow f(x) \/ g(x) \rightarrow 0$. Mi basta scrivere $\omega(x)= f(x) \/g(x)$ che per definizione di $\omega (x)$ tende a zero. Viceversa se $f(x) \/ g(x) \rightarrow 0\Rightarrow f(x)=\omega(x)g(x)$. Mi basta porre $omega(x)=f(x) \/ g(x)$. Corretto?

[gugo82]

Forse quel che c'è scritto qui può esserti d'aiuto.

[5mrkv]

Grazie. Mi sembra combacino Anche se mi sembra strana la terminologia definitivamente quando vale in almeno un intorno