Considerazioni su una Funzione a Due Variabli
Salve a tutti!
Mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Si consideri la funzione:
$ f(x,y)=(xy)/(1+x^2+y^2 $
Classificare il punto critico $ (0,0) $. Esistono altri punti critici?
Teoricamente l'esercizio è abbastanza semplice, ma nel modo in cui io lo svolgerei dovrei fare tantissimi calcoli... Ossia calcolerei le derivate seconde pure e miste, poi calcolerei il determinante dell'Hessiana nel punto richiesto e classificherei il punto. Poi, per capire se vi sono altri punti critici, eguaglierei le due derivate parziali, trovandomi i punti richiesti...
Ma, come ho detto prima, dovrei fare un mucchio di calcoli per trovarmi le derivate!
Allora ho pensato che ci deve essere un modo più semplice per capire, dato un punto critico, se esso è un massimo, un minmo o un punto sella e se esistono altri punti critici. Purtroppo in aula abbiamo sempre classificato i punti critici con l'Hessiana ( e non abbiamo nemmeno (praticamente) mai trattato il caso in cui il determinante fosse uguale a 0... Quindi il livello del mio corso di Analisi 2 non è molto alto... )
Qualcuno può darmi delucidazioni sulla questione?
Mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Si consideri la funzione:
$ f(x,y)=(xy)/(1+x^2+y^2 $
Classificare il punto critico $ (0,0) $. Esistono altri punti critici?
Teoricamente l'esercizio è abbastanza semplice, ma nel modo in cui io lo svolgerei dovrei fare tantissimi calcoli... Ossia calcolerei le derivate seconde pure e miste, poi calcolerei il determinante dell'Hessiana nel punto richiesto e classificherei il punto. Poi, per capire se vi sono altri punti critici, eguaglierei le due derivate parziali, trovandomi i punti richiesti...
Ma, come ho detto prima, dovrei fare un mucchio di calcoli per trovarmi le derivate!
Allora ho pensato che ci deve essere un modo più semplice per capire, dato un punto critico, se esso è un massimo, un minmo o un punto sella e se esistono altri punti critici. Purtroppo in aula abbiamo sempre classificato i punti critici con l'Hessiana ( e non abbiamo nemmeno (praticamente) mai trattato il caso in cui il determinante fosse uguale a 0... Quindi il livello del mio corso di Analisi 2 non è molto alto... )
Qualcuno può darmi delucidazioni sulla questione?
Risposte
Se uno mostra che sulla restrizione $x=y$ siamo su un minimo e invece su $x=-y$ siamo su un massimo, si conclude che è un punto di sella e finisce li.
Oppure lo studio del segno:
nel I e III quadrante è positiva, nel II e IV negativa, lungo gli assi si azzera.
Dunque l'origine è...
nel I e III quadrante è positiva, nel II e IV negativa, lungo gli assi si azzera.
Dunque l'origine è...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo