Connessione

[anto_zoolander]

Sia $(X,T)$ spazio topologico.
se $X$ è connesso per cammini allora è connesso.

supponiamo per assurdo che $X$ sia sconnesso, allora esistono $Y,Z in T$ non vuoti, ad intersezione nulla e tali che $YcupZ=X$. Poiché non vuoti possiamo prendere $y in Y$ e $z in Z$ tali che esista un arco continuo $phi:[0,1]->X$ che li colleghi. Chiaramente essendo continua, la controimmagine degli aperti di $X$ sono aperti in $[0,1]$ pertanto $f^(leftarrow)(Y)$ e $f^(leftarrow)(Z)$ sono aperti in $[0,1]$ e altrettanto lo sarà la loro unione.

ora $f^(leftarrow)(Y)cupf^(leftarrow)(Z)=f^(leftarrow)(YcupZ)=f^(leftarrow)(X)=[0,1]$
ma $[0,1]$ è sia aperto che chiuso e quindi dovrebbe l'unione dovrebbe essere sia aperta che è chiusa, cosa che per continuità non può esser vera.

è corretto? o manca un pezzo per concludere?

[otta96]

Non ho capito granché la tua conclusione, hai detto che l'unione delle retroimmagini è tutto $[0,1]$, ora ti basta osservare che la loro intersezione è vuota per concludere che sconnettono $[0,1]$, che è assurdo.

[anto_zoolander]

Infatti ero convinto di non aver concluso niente.
Grazie mille!

[killing_buddha]

La dimostrazione si basa sul fatto che $[0,1]$ è connesso; dimostrato questo, sconnetterlo con quelle preimmagini è l'assurdo che cerchi

[anto_zoolander]

In realtà il mio pensiero era volto al considerare $[0,1]$ come sottospazio topologico di $RR$ e che quindi nella topologia sottospazio fosse sia aperto che chiuso, cosa che invece non è l’unione di quelle due preimmagini, ma comunque non concludevo nulla.
Poi otta mi ha condotto a questa tua stessa idea ed è utilizzarlo ha reso tutto più chiaro.