Connessi in R^2
Salve a tutti,
Come da titolo vorrei dei chiarimenti riguardo gli insiemi connessi ; in quanto ad esempio quando il prof dice che in una tale funzione $f(x,y)$ l'insieme di definizione è diviso in quattro connessi allora afferma che la funzione è costante in ognuno dei 4...ora vorrei sapere come mai la funzione è costante nei connessi ? lo dice un teorema ?
Inoltre in un esercizio :
$arctg(x/y)+arctg(y/x)$=$pi/2$
il prof ha detto che il dominio è diviso in 4 connessi togliendo le rette $y=0$ e $x=0$ e ha detto che in ognuno dei 4 connessi la funzione è costante
Vorrei sapere come mai è costante e come fa a dire che sono 4 connessi quando una proposizione dice che un insieme è connesso se e solo se è chiuso e limitato, ma a me non sembra che i quattro quadranti senza i bordi presi singolarmente siano chiusi e limitati
Ringrazio a priori chiunque mi chiarisca le idee
Come da titolo vorrei dei chiarimenti riguardo gli insiemi connessi ; in quanto ad esempio quando il prof dice che in una tale funzione $f(x,y)$ l'insieme di definizione è diviso in quattro connessi allora afferma che la funzione è costante in ognuno dei 4...ora vorrei sapere come mai la funzione è costante nei connessi ? lo dice un teorema ?
Inoltre in un esercizio :
$arctg(x/y)+arctg(y/x)$=$pi/2$
il prof ha detto che il dominio è diviso in 4 connessi togliendo le rette $y=0$ e $x=0$ e ha detto che in ognuno dei 4 connessi la funzione è costante
Vorrei sapere come mai è costante e come fa a dire che sono 4 connessi quando una proposizione dice che un insieme è connesso se e solo se è chiuso e limitato, ma a me non sembra che i quattro quadranti senza i bordi presi singolarmente siano chiusi e limitati
Ringrazio a priori chiunque mi chiarisca le idee
Risposte
"Iris94":
un insieme è connesso se e solo se è chiuso e limitato
Quest'affermazione è falsa. Stai confondendo i concetti di connessione e compattezza! Riguardati un po' le definizioni (anche su Wikipedia)
Vero, innanzittutto ti ringrazio per avermi fatto notare quel errore
ho riguardato gli appunti e ho notato di aver erroneamente scritto connesso anziché compatto...
Invece permane un' ulteriore dubbio come mai nei connessi la funzione è costante ?
ho riguardato gli appunti e ho notato di aver erroneamente scritto connesso anziché compatto...
Invece permane un' ulteriore dubbio come mai nei connessi la funzione è costante ?
Di quale funzione stiamo parlando? Tu lì hai scritto un'equazione, come la definisci la funzione?
Puoi riportare il testo esatto dell'esercizio?
Puoi riportare il testo esatto dell'esercizio?
Il testo dell'esercizio diceva provare che :
$arctg(x/y)+arctg(y/x)$=$pi/2$
e si perveniva al fatto che il dominio tutto non è un connesso però vi sono presenti 4 connessi quindi poichè la funzione è costante nei connessi possiamo affermare che nel primo e nel terzo quadrante vale $pi/2$ mentre nel secondo e nel quarto vale $-pi/2$
il mio dubbio consiste nel sapere come fa a dire che nei connessi la funzione è costante ? anche in altri esercizi del genere dove erano presenti dei connessi il prof trovava un valore qualunque all'interno di un connesso e sosteneva che la funzione assumeva sempre lo stesso valore in tutto il connesso
$arctg(x/y)+arctg(y/x)$=$pi/2$
e si perveniva al fatto che il dominio tutto non è un connesso però vi sono presenti 4 connessi quindi poichè la funzione è costante nei connessi possiamo affermare che nel primo e nel terzo quadrante vale $pi/2$ mentre nel secondo e nel quarto vale $-pi/2$
il mio dubbio consiste nel sapere come fa a dire che nei connessi la funzione è costante ? anche in altri esercizi del genere dove erano presenti dei connessi il prof trovava un valore qualunque all'interno di un connesso e sosteneva che la funzione assumeva sempre lo stesso valore in tutto il connesso
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