Congettura su calcolo di primitive di forma differenziale
Salve a tutti,
mi stavo interrogando sulla correttezza del seguente ragionamento.
Teorema
Sia $\omega(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy$ una forma differenziale lineare
esatta.
Allora tutte le primitive $f$ di $\omega$ sono date da $f(x,y)=\int N(x,y)dy$
dimostrazione
Sia $f$ una primitiva di $\omega$. Allora da $f_{x}=M$ segue $f(x,y)=g(y)+\int M(x,y)dx$.
Inoltre deve anche essere
$f_{y}=N$ sse $g'(y)+\frac{d}{dy}(\int M(x,y)dx)=N(x,y)$
il che implica
$g(y)=\int N(x,y)dy-\int\frac{d}{dy}(\int M(x,y)dx)dy=\int N(x,y)dy-\int M(x,y)dx$
Sicchè sostituendo otteniamo
$f(x,y)=g(y)+\int M(x,y)dx=\int N(x,y)dy-\int M(x,y)dx+\int M(x,y)dx=\int N(x,y)dy$
cioè
$f(x,y)=\int N(x,y)dy$
Secondo voi è corretto?
Grazie a tutti !
mi stavo interrogando sulla correttezza del seguente ragionamento.
Teorema
Sia $\omega(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy$ una forma differenziale lineare
esatta.
Allora tutte le primitive $f$ di $\omega$ sono date da $f(x,y)=\int N(x,y)dy$
dimostrazione
Sia $f$ una primitiva di $\omega$. Allora da $f_{x}=M$ segue $f(x,y)=g(y)+\int M(x,y)dx$.
Inoltre deve anche essere
$f_{y}=N$ sse $g'(y)+\frac{d}{dy}(\int M(x,y)dx)=N(x,y)$
il che implica
$g(y)=\int N(x,y)dy-\int\frac{d}{dy}(\int M(x,y)dx)dy=\int N(x,y)dy-\int M(x,y)dx$
Sicchè sostituendo otteniamo
$f(x,y)=g(y)+\int M(x,y)dx=\int N(x,y)dy-\int M(x,y)dx+\int M(x,y)dx=\int N(x,y)dy$
cioè
$f(x,y)=\int N(x,y)dy$
Secondo voi è corretto?
Grazie a tutti !
Risposte
La congettura è falsa. Trovalo tu stesso un controesempio. Suggerimento: non andare lontano, ce ne sono di molto semplici.
T'evidenzio l'errore: [tex]$\int\frac{d}{dy}\bigg(\int M(x,y)dx\bigg)dy=\int M(x,y)dx$[/tex].
Sia $\omega(x,y):=xdx+ydy$.
Posto $f(x,y):=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}$ risulta che $f$
è una primitiva di $\omega$.
Però $f \ne \int Ndy=y^{2}/2$.
Edit. sto riflettendo sull'errore....
Posto $f(x,y):=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}$ risulta che $f$
è una primitiva di $\omega$.
Però $f \ne \int Ndy=y^{2}/2$.
Edit. sto riflettendo sull'errore....
"dark121it":
Sia $\omega(x,y):=xdx+ydy$.
Posto $f(x,y):=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}$ risulta che $f$
è una primitiva di $\omega$.
Però $f \ne \int Ndy=y^{2}/2$.
Edit. sto riflettendo sull'errore....
Mhhh.. no, mi sa che questo come contro esempio non va bene, perchè
in effetti
$\int N(x,y)dy=h(x)+y^{2}/2$ e quindi mi trovo imponendo $h(x):=\frac{x^{2}}{2}$
Aiuto!
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Ah vabbè se la metti così allora la congettura è vera... 
Cioè, tu nel simbolo di integrale indefinito intendi che la costante possa dipendere da $x$: ma allora tutto ok perché se $dF=omega$, ovvero $\frac{\partial F}{\partial x}=M, \frac{\partial F}{\partial y}=N$ allora evidentemente, integrando una di queste ultime relazioni ottieni quello che vuoi. Scusami tanto.
Cioè, tu nel simbolo di integrale indefinito intendi che la costante possa dipendere da $x$: ma allora tutto ok perché se $dF=omega$, ovvero $\frac{\partial F}{\partial x}=M, \frac{\partial F}{\partial y}=N$ allora evidentemente, integrando una di queste ultime relazioni ottieni quello che vuoi. Scusami tanto.
Però attenzione che quella che tu hai chiamato [tex]$h(x)$[/tex] deve essere scelta con criterio e non è libera di essere quello che ti pare!
"dissonance":
Ah vabbè se la metti così allora la congettura è vera...
Sì, sì infatti.
Mi sa che tutto il ragionamento che ho fatto era uno sproloquio inutile!
Vabbè grazie comunque!
Prego 
Spero che le forme differenziali ti siano meno amorfe
Spero che le forme differenziali ti siano meno amorfe
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