Confusione su funzioni localmente equivalenti
Buonasera a tutti,
come da titolo ho problemi sul comprendere a pieno le funzioni equivalenti.
Nessuno mi ha spiegato bene quando è possibile o meno sostituire una funzione con una equivalente.
So che con i prodotti ciò mi è possibile, ma con funzioni più complesse ho problemi. Faccio due esempi:
$\lim_{x \to \infty} $ $x*(x^((2x+1)/(x^2+1))-1)$
In questo caso se eseguo il confronto locale $(2x+1)/(x^2+1)$ $~$ $(2x)/(x^2)$, posso risolverlo semplicemente come se fosse un limite notevole.
Perchè questa "sostituzione mi è concessa nonostante non mi trovi in prodotti o quozienti?
se invece calcolo
$\lim_{x \to \infty} $ $x*e^(x/(x+1))-e*x$ perchè non poso effettuare l'equivalenza $x/(x+1)$ $~$ $x/x$?
Grazie mille in anticipo a tutti. Buona serata.
Ansel
come da titolo ho problemi sul comprendere a pieno le funzioni equivalenti.
Nessuno mi ha spiegato bene quando è possibile o meno sostituire una funzione con una equivalente.
So che con i prodotti ciò mi è possibile, ma con funzioni più complesse ho problemi. Faccio due esempi:
$\lim_{x \to \infty} $ $x*(x^((2x+1)/(x^2+1))-1)$
In questo caso se eseguo il confronto locale $(2x+1)/(x^2+1)$ $~$ $(2x)/(x^2)$, posso risolverlo semplicemente come se fosse un limite notevole.
Perchè questa "sostituzione mi è concessa nonostante non mi trovi in prodotti o quozienti?
se invece calcolo
$\lim_{x \to \infty} $ $x*e^(x/(x+1))-e*x$ perchè non poso effettuare l'equivalenza $x/(x+1)$ $~$ $x/x$?
Grazie mille in anticipo a tutti. Buona serata.
Ansel
Risposte
Neanche io ho mai capito bene questa cosa. Per questo non uso mai l'equivalenza asintotica, ma sempre gli sviluppi di Taylor. Nell'ultimo esempio, invece di sostituire $x/(x+1)$ con $1$, lo riscrivo come
\[
\frac x{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\]
e, se proprio ne ho bisogno, sviluppo secondo Taylor in \(\frac1x\) l'ultimo addendo, ottenendo
\[
\frac x{x+1}=1-\frac1x+\frac1{x^2}+O\left(\frac1{x^3}\right).\]
(Se mi serve sviluppo fino ad un ordine più alto. Ma di solito non mi serve).
Queste formule sono molto più precise rispetto alla sostituzione brutale $x/(x+1)\approx 1$, la quale non fa altro che buttare via tutto lo sviluppo di Taylor tranne il primo ordine.
\[
\frac x{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\]
e, se proprio ne ho bisogno, sviluppo secondo Taylor in \(\frac1x\) l'ultimo addendo, ottenendo
\[
\frac x{x+1}=1-\frac1x+\frac1{x^2}+O\left(\frac1{x^3}\right).\]
(Se mi serve sviluppo fino ad un ordine più alto. Ma di solito non mi serve).
Queste formule sono molto più precise rispetto alla sostituzione brutale $x/(x+1)\approx 1$, la quale non fa altro che buttare via tutto lo sviluppo di Taylor tranne il primo ordine.
Concordo con dissonance: usare funzioni "equivalenti" senza tener traccia dell'errore che si commette può generare grossi errori. Con l'esperienza uno riesce a usare le equivalenze perché tiene traccia a mente degli errori di approssimazione.
ah ok, capito.
Quindi è meglio studiare più a fondo Taylor.
Grazie mille a entrambi!
Quindi è meglio studiare più a fondo Taylor.
Grazie mille a entrambi!
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