Confusione riguardo a un integrale

[FemtoGinny]

Buongiorno forum stamane volevo chiedervi un delucidamento su un integrale svolto... ecco, mi trovo al passaggio $ 4intcos^2(t)dt $ e dallo svolgimento risulta che il successivo è $ 2t+2sin(t)cos(t) $ ma mi sfuggono i passaggi intermedi...
Inoltre dato che inizialmente x è stato posto $ x=2sin(t) $ allora risulta $ t=arcsin(x/2) $ e qui va bene.
Poi però x viene elevato al quadrato e quello che si ottiene è $ x^2=4sin^2(t)=4-4cos^2(t)rArr |cos(t)|=sqrt(4-x^2)/4 $ purtroppo anche qui dal secondo passaggio in poi non riesco a capire come si passa da una forma all'altra... qualcuno potrebbe darmi una mano? ^^

[Lo_zio_Tom]

"FemtoGinny":Buongiorno forum stamane volevo chiedervi un delucidamento su un integrale svolto... ecco, mi trovo al passaggio $ 4intcos^2(t)dt $ e dallo svolgimento risulta che il successivo è $ 2t+2sin(t)cos(t) $ ma mi sfuggono i passaggi intermedi...

basta usare le formule di duplicazione

[Lo_zio_Tom]

partiamo da qui:

$cos(2t)=cos^2(t)-sen^2(t)=cos^2(t)-1+cos^2(t)=2cos^2(t)-1$

$cos^2(t)=(1+cos(2t))/2$

per cui il tuo integrale diventa:

$4intcos^2(t)dt=2int[1+cos(2t)]dt=int[1+cos(2t)]d(2t)=2t+sen(2t)=2t+2sen(t)cos(t)+C$


chiaro ora?

[Lo_zio_Tom]

"FemtoGinny":
Inoltre dato che inizialmente x è stato posto $ x=2sin(t) $ allora risulta $ t=arcsin(x/2) $ e qui va bene.
Poi però x viene elevato al quadrato e quello che si ottiene è $ x^2=4sin^2(t)=4-4cos^2(t)rArr |cos(t)|=sqrt(4-x^2)/4 $ purtroppo anche qui dal secondo passaggio in poi non riesco a capire come si passa da una forma all'altra... qualcuno potrebbe darmi una mano? ^^

ha solo fatto i passaggi algebrici...ma c'è un errore!

$x^2=4sen^2(t)=4[1-cos^2(t)]=4-4cos^2(t)$

$(4-x^2)/4=cos^2(t)$

$|cos(t)|=sqrt((4-x^2)/4)=sqrt(4-x^2)/2$


...se non ho fatto qualche errore di distrazione

[FemtoGinny]

Ti ringrazio tantissimo, ora è molto ma molto più chiaro! Avrei però tre domande da farti
1) quando fai $ cos^2(t)=(1+cos(2t))/2 $ ... cos'è di preciso? E una formula trigonometrica (tipo l'identità) o è un passaggio algebrico?
2) come fai a passare da $ 4-4cos^2(t)= $ a $ (4-x^2)/4=cos^2(t) $ ?
3)Last but not least... dici che c'è un problema, ma intendi semplicemente che non è stato effettuato l'ulteriore passaggio di semplificazione da $ sqrt((4-x^2)/4)=sqrt(4-x^2)/2 $ ?
Ps. ti ringrazio per la completezza!

[Lo_zio_Tom]

"FemtoGinny":Ti ringrazio tantissimo, ora è molto ma molto più chiaro! Avrei però tre domande da farti
1) quando fai $ cos^2(t)=(1+cos(2t))/2 $ ... cos'è di preciso? E una formula trigonometrica (tipo l'identità) o è un passaggio algebrico?

formule di duplicazione del seno e del coseno

$cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x)$

ricordando che $cos^2(x)+sen^2(x)=1$....sostituisci e trovi ciò che (speravo) fosse chiaro nei passaggi che ti ho messo durante la soluzione dell'integrale

[Lo_zio_Tom]

"FemtoGinny":
2) come fai a passare da $ 4-4cos^2(t)= $ a $ (4-x^2)/4=cos^2(t) $ ?

mi stai chiedendo come faccio a passare da

$x^2=4-4cos^2(x)$

a

$(4-x^2)/4=cos^2(x)$

all'Università???????

[Lo_zio_Tom]

va beh.....tanto ormai, peggio di così.....

1) porto al primo membro $-4cos^2(x)$

2) porto al secondo membro $x^2$

3) divido per 4

[Lo_zio_Tom]

"FemtoGinny":
3)Last but not least... dici che c'è un problema, ma intendi semplicemente che non è stato effettuato l'ulteriore passaggio di semplificazione da $ sqrt((4-x^2)/4)=sqrt(4-x^2)/2 $ ?

mi sono basato su quanto da te scritto nel primo post

"FemtoGinny":
e quello che si ottiene è $ x^2=4sin^2(t)=4-4cos^2(t)rArr |cos(t)|=sqrt(4-x^2)/4 $

dove il 4 al denominatore l'hai messo fuori dalla radice.....è un errore!

[FemtoGinny]

No, scusami è stata una domanda stupida, mi era sfuggito x al quadrato Grazie mille

[axpgn]

Scusami se mi permetto di darti un consiglio, lo do a te ma servirebbe a molti perché è un'abitudine diffusa: dovreste smetterla (detto con tono "paterno" non ruvido e stizzito, lo dico per evitare fraintendimenti ... ) di postare a raffica (estremizzo ) dopo una riposta, perché questo è indice, spesso, di mancanza di riflessione su quello che vi è stato detto; ciò porta non solo a fare domande a cui potreste dare risposta facilmente da soli ma quel che è peggio, non vi permette di "metabolizzare" il messaggio dato, cosicché la volta successiva siete ancora allo stesso punto.
Non prendertela se mi sono permesso ma mi piacerebbe che non sprecaste energie inutilmente ...

Cordialmente, Alex

[Lo_zio_Tom]

"axpgn":Scusami se mi permetto di darti un consiglio, lo do a te ma servirebbe a molti perché è un'abitudine diffusa: dovreste smetterla (detto con tono "paterno" non ruvido e stizzito, lo dico per evitare fraintendimenti ... ) di postare a raffica (estremizzo ) dopo una riposta, perché questo è indice, spesso, di mancanza di riflessione su quello che vi è stato detto; ciò porta non solo a fare domande a cui potreste dare risposta facilmente da soli ma quel che è peggio, non vi permette di "metabolizzare" il messaggio dato, cosicché la volta successiva siete ancora allo stesso punto.
Non prendertela se mi sono permesso ma mi piacerebbe che non sprecaste energie inutilmente ...

Cordialmente, Alex

dov'è dov'è il tastino "like"

[FemtoGinny]

Avete perfettamente ragione! Mi scuso e vi ringrazio per il consiglio d'ora in poi rifletterò più o lungo sulle risposte, anche se ora sotto esami lo stress mi fa credere di non sapere cose che invece ho già assimilato! Detto ciò, grazie del vostro aiuto... e della pazienza ^^