Confusione massimi e minimi assoluti e relativi

[rita212]

ciao fantastici!! allora sto affrontando lo studio della derivata prima per determinare i massimi e minimi relativi e assoluti...fin qui ci sono!
il problema è con ho capito bene la differenza tra di loro! voglio dire come li distinfuo trovo i punti ma non so classificarli!! per favore aiutatemi in termini semplici!! grazie 1000

[Zero87]

"rita21":ciao fantastici!

Mi accodo al "fantastici" per gli abitanti di questo forum.

allora sto affrontando lo studio della derivata prima per determinare i massimi e minimi relativi e assoluti...fin qui ci sono!
il problema è con ho capito bene la differenza tra di loro! voglio dire come li distinfuo trovo i punti ma non so classificarli!! per favore aiutatemi in termini semplici!! grazie 1000

Fai finta che si parla di massimo, per il minimo è la stessa cosa (detta in senso speculare, ovvio).

$x$ è un massimo relativo se trovi almeno un altro punto $x_1$ per cui $f(x_1)\ge f(x)$, altrimenti è assoluto.
Spesso è molto più semplice di quello che sembra perché ti basta vedere a cosa tende $f$ per $x->\pm \infty$ o qualche discontinuità interna. Se qualche limite ha valore $+\infty$ stai certa che se trovi un massimo... non è assoluto proprio perché c'è qualcosa di più grande.

In pratica, massimo relativo vuol dire ristretto "lì vicino" ma poi la funzione assume tranquillamente valori maggiori mentre assoluto vuol dire "per tutto il dominio".

[rita212]

perdonami il problema è il mio tu sei bravissimo!! ma non ho capito nulla!!

[Zero87]

"rita21":perdonami il problema è il mio tu sei bravissimo!! ma non ho capito nulla!!

Non esagerare per così poco, che divento rosso!

Allora facciamo un esempiuccio, prendi
$f(x)=x^3+2x^2+x$

Hai $f'(x)=3x^2+4x+1$ che, se vai a vedere quando si annulla hai che si annulla in $x=-1$ e $x=-1/3$.

Ora, senza andare troppo nei dettagli, in $x=-1$ hai un massimo, puoi anche vedere $f(-1)=-1+2-1=0$. Ti chiedi se è massimo locale o globale e puoi notare che
$lim_(x->+\infty) f(x)=+\infty$,
per qualche teorema di cui ora mi sfugge il nome - va bene anche la permanenza del segno dato che $f(-1)=0$ ma non intendo quello - hai che esiste $x_1>0$ tale che $f(x)>k$ con $k>0$ proprio perché la funzione tende a $+\infty$. Vedendo, dunque, che la nostra funzione può assumere valori maggiori di $0$ il nostro massimo non è globale, ma locale.

Questo è il modo più semplice e standard, se hai fortuna ti basta trovare un valore a caso $x_2 \ne -1$ per cui $f(x_2)>0$ ma non è elegante come metodo, meglio un ragionamento un pizzichetto più astratto. Se hai qualche asintoto o qualche limite che tende a $+\infty$ o a $-\infty$ sfruttali come ho fatto che ti aiutano.