Confusione integrali di linea ed integrali doppi

[federicoponti1]

Ciao a tutti, non so se son io ad avere un po di confusione in testa, oppure se è questo esercizio ad essere un po maledetto
Riporto il testo:
Esprimere e calcolare mediante un integrale l'area della superficie cilindrica a generatrici parallele all'asse z, delimitata dai piani \(\displaystyle z=1 \) e \(\displaystyle z=2y \) che si proietta nella linea \(\displaystyle \Gamma \) di equazione \(\displaystyle y=3x^2 \) , \(\displaystyle -1 \leq x \leq 1 \)
è un esercizio del tipo integrali di linea? Come si risolve? nel caso perchè si risolve così? Ringrazio tutti anticipatamente

[federicoponti1]

"TeM":Dunque, vogliamo calcolare la misura della superficie cilindrica \(\Sigma\) a generatrici parallele all'asse \(z\), compresa tra i
piani \(z=f_1(x,\,y):=1\) e \(z=f_2(x,\,y):=2y\), che si proietta sull'arco di curva \(\gamma\) di equazioni parametriche \(\vec{r}(t):=\left(t,\,3t^2\right)\) per \(t\in[-1,\,1]\).

Applicando direttamente la definizione di integrale di linea (di prima specie), si ha \[ \left|\Sigma\right| = \int_{\gamma} f\,ds := \int_a^b f\left(\vec{r}(t)\right)\,\left|\vec{r}\,'(t)\right|\,dt \] dove \((a,\,b):=(-1,\,1)\) ed \(f(x,\,y):=f_2(x,\,y)-f_1(x,\,y)\).

Da notare che qualora \(f \equiv 1\) il calcolo di tale integrale porta alla lunghezza di \(\gamma\).

Grazie mille della risposta, ho solo una domanda adesso, la nella mia \(\displaystyle f(x,y) \) devo fare il modulo oppure no?
nel senso per risolvere questo esercizio devo considerare
\(\displaystyle f(x,y)= \mid 2y - 1 \mid \)
oppure semplicemente
\(\displaystyle f(x,y)=2y-1 \) ?