Confronto tra rendimento dei cicli Otto e Diesel: dimostrazione matematica della superiorità del primo

riccardo.fassetta
Buongiorno a tutti, questo è il mio primo post.
Chiedo aiuto su come dimostrare in maniera matematicamente rigorosa come il rendimento del ciclo Otto sia superiore a quello Diesel a parità di rapporto di compressione volumetrico.
Riporto le formule qui sotto

\( \eta _{Otto}=1-\frac{1}{r_v^{k-1}} \)

\( \eta _{Diesel}=1-\frac{1}{r_v^{k-1}} \cdot {\frac{r_c^k-1}{k \cdot (r_c-1)}} \)

dove:
\(\cdot\) k è il coefficiente della trasformazione adiabaica del gas cioè il rapporto tra il calore specifico a pressione costante ed il calore specifico a volume costante, supposto costante e sempre maggiore di 1;
\(\cdot\) \(r_v\) è il rapporto di compressione volumetrico, ossia il rapporto tra il volume prima e dopo la compressione adiabatica, sempre maggiore di 1;
\(\cdot\) \(r_c\) è il rapporto di volumetrico di combustione, ossia il rapporto tra il volume tra il volume alla fine della combustione ed il volume alla fine della combustione a pressione costante, sempre maggiore di 1.

In pratica il tutto si riduce a dimostrare che

\( {\frac{r_c^k-1}{k \cdot (r_c-1)}}>1 \)

per ogni \(r_c\) e k maggiori di 1, qualsiasi essi siano.
Ringrazio anticipatamente chiunque fornisca un aiuto.

Risposte
gugo82
Semplificando la notazione, si tratta di provare che $r^k > k(r-1)+1$ per ogni $r,k>1$... Il che non mi sembra difficile con gli usuali metodi del Calcolo.

Suggerimento : sfrutta la convessità della potenza.

riccardo.fassetta
Avevo pensato anch'io alla opzione di calcolare il limite di \(r_c\) che tende a 1 e dimostrare poi la monotonia crescente della funzione.
Chiaramente una volta semplificata la funzione la derivata

\( k \cdot r_c^{k-1}>k \)

ossia

\( \cdot r_c^{k-1}>1 \)

che chiaramente è sempre crescente per k>1.
Sarà anche una fissa mia ma mi sembrava poco elegante, cercavo se c'era, qualcosa di più elegante, magari maneggiando il rapporto iniziale senza semplificarlo.

gugo82
Forse ti è sfuggito che non ho parlato di limiti da nessuna parte e che ti ho offerto un suggerimento per una dimostrazione elegante.

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