Confronto tra rendimento dei cicli Otto e Diesel: dimostrazione matematica della superiorità del primo
Buongiorno a tutti, questo è il mio primo post.
Chiedo aiuto su come dimostrare in maniera matematicamente rigorosa come il rendimento del ciclo Otto sia superiore a quello Diesel a parità di rapporto di compressione volumetrico.
Riporto le formule qui sotto
\( \eta _{Otto}=1-\frac{1}{r_v^{k-1}} \)
\( \eta _{Diesel}=1-\frac{1}{r_v^{k-1}} \cdot {\frac{r_c^k-1}{k \cdot (r_c-1)}} \)
dove:
\(\cdot\) k è il coefficiente della trasformazione adiabaica del gas cioè il rapporto tra il calore specifico a pressione costante ed il calore specifico a volume costante, supposto costante e sempre maggiore di 1;
\(\cdot\) \(r_v\) è il rapporto di compressione volumetrico, ossia il rapporto tra il volume prima e dopo la compressione adiabatica, sempre maggiore di 1;
\(\cdot\) \(r_c\) è il rapporto di volumetrico di combustione, ossia il rapporto tra il volume tra il volume alla fine della combustione ed il volume alla fine della combustione a pressione costante, sempre maggiore di 1.
In pratica il tutto si riduce a dimostrare che
\( {\frac{r_c^k-1}{k \cdot (r_c-1)}}>1 \)
per ogni \(r_c\) e k maggiori di 1, qualsiasi essi siano.
Ringrazio anticipatamente chiunque fornisca un aiuto.
Chiedo aiuto su come dimostrare in maniera matematicamente rigorosa come il rendimento del ciclo Otto sia superiore a quello Diesel a parità di rapporto di compressione volumetrico.
Riporto le formule qui sotto
\( \eta _{Otto}=1-\frac{1}{r_v^{k-1}} \)
\( \eta _{Diesel}=1-\frac{1}{r_v^{k-1}} \cdot {\frac{r_c^k-1}{k \cdot (r_c-1)}} \)
dove:
\(\cdot\) k è il coefficiente della trasformazione adiabaica del gas cioè il rapporto tra il calore specifico a pressione costante ed il calore specifico a volume costante, supposto costante e sempre maggiore di 1;
\(\cdot\) \(r_v\) è il rapporto di compressione volumetrico, ossia il rapporto tra il volume prima e dopo la compressione adiabatica, sempre maggiore di 1;
\(\cdot\) \(r_c\) è il rapporto di volumetrico di combustione, ossia il rapporto tra il volume tra il volume alla fine della combustione ed il volume alla fine della combustione a pressione costante, sempre maggiore di 1.
In pratica il tutto si riduce a dimostrare che
\( {\frac{r_c^k-1}{k \cdot (r_c-1)}}>1 \)
per ogni \(r_c\) e k maggiori di 1, qualsiasi essi siano.
Ringrazio anticipatamente chiunque fornisca un aiuto.
Risposte
Semplificando la notazione, si tratta di provare che $r^k > k(r-1)+1$ per ogni $r,k>1$... Il che non mi sembra difficile con gli usuali metodi del Calcolo.
Suggerimento : sfrutta la convessità della potenza.
Suggerimento : sfrutta la convessità della potenza.
Avevo pensato anch'io alla opzione di calcolare il limite di \(r_c\) che tende a 1 e dimostrare poi la monotonia crescente della funzione.
Chiaramente una volta semplificata la funzione la derivata
\( k \cdot r_c^{k-1}>k \)
ossia
\( \cdot r_c^{k-1}>1 \)
che chiaramente è sempre crescente per k>1.
Sarà anche una fissa mia ma mi sembrava poco elegante, cercavo se c'era, qualcosa di più elegante, magari maneggiando il rapporto iniziale senza semplificarlo.
Chiaramente una volta semplificata la funzione la derivata
\( k \cdot r_c^{k-1}>k \)
ossia
\( \cdot r_c^{k-1}>1 \)
che chiaramente è sempre crescente per k>1.
Sarà anche una fissa mia ma mi sembrava poco elegante, cercavo se c'era, qualcosa di più elegante, magari maneggiando il rapporto iniziale senza semplificarlo.
Forse ti è sfuggito che non ho parlato di limiti da nessuna parte e che ti ho offerto un suggerimento per una dimostrazione elegante.