Confronto tra potenze con esponente irrazionale

[Filippo121]

Come si fa a stabilire il numero maggiore tra $ e^pi $ e $ pi^e $ ? ( senza usare la calcolatrice! )
Ho provato ad applicare la proprietà $ e^ln a = a $ per avere due potenze con la stessa base ma non ottengo nulla confrontando i diversi esponenti....

Grazie

[axpgn]

Leggi qui se ti può essere utile.

Cordialmente, Alex

[Studente Anonimo]

Ricordo che questa domanda me la sono beccata ad un esame preparatorio di ammissione. Ecco come avevo risolto

Considera per \(x > 0 \) le funzioni \(f(x) = e^x \) e \(g(x) = x^e \) e studiane la monotonia ed inoltre trova il loro punto di intersezione.
Te lo dico perché non ho trovato (mi pare, ma non ho letto tutto il thread) questa cosa nel link suggeritoti da axpgn
Se vuoi provarci te, te lo lascio in spoiler

Riscriviamo \(g(x)=e^{ e \ln x } \) e pertanto per il punto di intersezione abbiamo \( x=e \ln x \), e otteniamo un punto di intersezione banale in \(x=e\). Inoltre sia \(f\) che \(g\) sono chiaramente strettamente crescenti pertanto se per un qualunque valore \(x_0 > e \) risulta che \( f(x_0) > g(x_0) \) abbiamo chiaramente che \(f(x) > g(x) \) per ogni \(x > e \). Dunque pure per \( \pi >3> e \). Prendiamo ad esempio \(x_0 = e^2 \). Abbiamo che \(e^2 > 2e \) e pertanto \( f(e^2) = e^{e^2} > e^{2e} = g(e^2) \) e dunque risulta in particolare che \(f(\pi)= e^{\pi} > \pi^{e}=g(\pi) \).

[Filippo121]

grazie ho capito!
PS: questa osservazione :" sia \(f\) che \(g\) sono strettamente crescenti pertanto se per un qualunque valore \(x_0 > e \) risulta che \( f(x_0) > g(x_0) \) abbiamo chiaramente che \(f(x) > g(x) \) per ogni \(x > e \). " vale solo per questa funzione esponenziale, cioè non vale per due qualunque funzioni , vero? Ad esempio dopo l'intersezione la funzione sotto scavalca quella che era sopra, pur essendo entrambe crescenti strettamente.

Grazie

[Studente Anonimo]

Vale per queste due funzioni poiché hanno un unico punto di intersezione.