Confronto nel limite a due variabili

[marex1]

Buonasera,

vorrei provare a risolvere un dubbio nello studio teorico,in particolare nel limite in due variabili.
Negli appunti ho scritto che:

$|f(x)-L|<=g(x) e lim(x,y)->(x_0,y_0) g(x,y)=0 => lim(x,y)->(x_0,y_0) f(x,y)=L$
Ed è un metodo utileper il calcolo del limite con il criterio confronto.

Però dall'analisi I ricordo che il teorema del confronto viene applicato in modo diverso, (si trovano una g(x) e una h(x) che "schiacciano" la funzione da desta a sinistra dei simboli di maggiore e minore, eppure vedendolo così quello sopra riportato mi par proprio che potrei applicarlo anche a funzioni ad una variabile e dovrebbe funzionare, o sbaglio?
Perché invece non viene enunciato così?

[Weierstress]

Scritta così è un po' un casino, ma il teorema dei carabinieri è perfettamente valido anche per funzioni in più variabili.

Basta trovare $g(x,y)$ tale che $0<=|f(x,y)|<=g(x,y)$ $forall x,y$ e $lim_((x,y)rarr(0,0)) g(x,y)=0$ (nella stragrande maggioranza degli esercizi il limite va a zero, se vuoi si riscrive facilmente nel caso generale).

[marex1]

Esatto, come la scrivi tu è l'esposizione che vidi in analisi 1, però ora mi èstato esposto così, intuitivamente vedo che funziona, però mi chiedevo anche con una variabile posso fare:
$|f(x)-L|<=g(x) e lim_((x,y)rarr(x_0,y_0)) g(x,y)=0 => lim_((x,y)rarr(x_0,y_0)) f(x,y)=L$

Viene identificato come confronto dal mio prof.

[Weierstress]

Scusami, se $g(x,y)rarr0$ quell'espressione equivale a $|f(x,y)-l|

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[marex1]

Ricorda la definizione di limite, però mi sembra anche di poterla vedere come un controllo di questo tipo: ho una funzione g(x) che tende a zero, la differenza f(x)-L sarà in modulo minore di g(x)->0, quindi L sarà il valore di f(x) nell'intorno considerato (essendo la sua differenza con f(x) pari a un valore che si avvicina a zero). Una sorta di teorema del confronto.

Non capisco il passaggio logico per cui dici |f(x)−l| |f(x)−l|<ε

Grazie

[Weierstress]

E' lo stesso passaggio che hai appena riferito tu...

[marex1]

Grazie, in sostanza prendo epsilon quella funzione che tende a zero, ci sono!

Ma ho sbagliato ad appuntare o è anche questo che ho indicato una riedizione il teorema del confronto? (in effetti vado a confrontare due funzioni e i loro limiti, però è anche l'esposizione della definizione di limite, sono confuso)
Forse mi pare più una verifica tramite definzione di limite (giusto per ordinarmi le idee)

Gracias

[Weierstress]

Mah in realtà non saprei che dirti, il trucco all'esame è chiamare le cose come vuole il prof., per questi dubbi di nomenclatura dovresti chiedere a lui.

[marex1]

Capito grazie,
però concettualmente mi ha fatto notare una cosa nuova: in effetti non avevo mai ragionato sul concetto di limite come un confronto in tal senso

"marex":Esatto, come la scrivi tu è l'esposizione che vidi in analisi 1, però ora mi èstato esposto così, intuitivamente vedo che funziona, però mi chiedevo anche con una variabile posso fare:
$|f(x)-L|<=g(x) e lim_((x,y)rarr(x_0,y_0)) g(x,y)=0 => lim_((x,y)rarr(x_0,y_0)) f(x,y)=L$

Viene identificato come confronto dal mio prof.

E' stupido ma non ci avevo mai fatto caso..