Confronto limiti

[domenico.migl]

Salve a tutti avrei un dubbio su un limite.

$lim_{(x,y)to(0.0)} (sin(xy))/sqrt(x^2+y^2)$

Questo l'ho risolto con la seguente serie di disuguaglianze:

$0<=|sin(xy)|/sqrt(x^2+y^2)<=|xy|/sqrt(x^2+y^2)=|x|/sqrt(x^2+y^2)*|y|<=|y|$

Passando al limite essendo $|y|$ convergente a $0$ quindi per il teorema del confronto convergerà anche la funzione iniziale.

Studiando quest altro limite:

$lim_{(x,y)to(0.0)} (sin(xy))/(x^2+y^2)$

avevo trovato che convergeva a zero allo stesso modo però invece il limite non esiste.. qualcuno sa spiegarmi il motivo?

[Antimius]

Prova a considerare il limite di $\frac{xy}{x^2+y^2}$ e che $\frac{\sin(xy)}{xy} \to 1$

[domenico.migl]

Ok il limite di $(xy)/(x^2+y^2)$ non esiste perchè se faccio le due restrizioni per $x=0$ e per $x=y$ vengono limiti diversi. Però quando si presenta l'esercizio davanti a priori non so se esiste o meno il limite. Una delle possibili strade per vedere se il limite converge a zero è quella delle maggiorazioni (come ho fatto nel primo esercizio riportato) se questa va a buon fine è una condizione sufficiente per affermare che il limite converge a zero. Se io applico questo procedimento al limite "incriminato" sembra funzionare (a meno che non stia sbagliando qualcosa o stia dimenticando qualche considerazione da fare) quindi potrei dire di aver finito l'esercizio, però da un analisi più attenta se considero le restrizioni mi accorgo che questo limite non esiste. Come mai? Dove sbaglio?

[Antimius]

Quali passaggi hai fatto esattamente? Se sono gli stessi di prima, attento che $\frac{|x|}{x^2+y^2}$ non è minore o uguale a $1$. Considera il caso $y=0$ per $x \leq 1$ per convincertene
Nell'altro esercizio era vero perché c'era la radice quadrata a denominatore.

[domenico.migl]

Ti ringrazio! Era proprio questo che volevo sapere!

[Antimius]

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