Confronto infiniti

[Slashino1]

Sappiamo che la funzione $ f(x)=e^x $ è un'infinito di ordine superiore rispetto a $ g(x)=x^k $ . Per dimostrare rigorosamente ciò occorre calcolare $ lim_(x ->oo )(e^x/x^k) $ . Come è possibile calcolare questo limite? Ringrazio subito chi mi aiuterà!

[Seneca1]

"Slashino":Sappiamo che la funzione $ f(x)=e^x $ è un'infinito di ordine superiore rispetto a $ g(x)=x^k $ . Per dimostrare rigorosamente ciò occorre calcolare $ lim_(x ->oo )(e^x/x^k) $ . Come è possibile calcolare questo limite? Ringrazio subito chi mi aiuterà!

La via più semplice - non è l'unica - è utilizzare il teorema di De L'Hospital.

[ciampax]

Altro metodo, che non ricorre a dH: porre [tex]$x=-t$[/tex] e calcolare un limite diretto (facile da fare se [tex]$k\in\mathbb{Q}$[/tex], un po' più complesso, ma non molto, se [tex]$k\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$[/tex]).

P.S.: ovviamente il limite iniziale va verificato solo per [tex]$x\to+\infty$[/tex], in quanto, per [tex]$x\to-\infty$[/tex] la funzione esponenziale risulta infinitesima!

[Slashino1]

Utilizzo De L'Hospital che mi sembra la via più veloce : $ lim_(x -> +oo ) (2^x/x^2)=lim_(x -> +oo ) (((ln 2)(2^x))/(2x))=((ln 2)/2)lim_(x -> +oo ) (ln 2(2^x))=((ln 2)^2/2)+oo =+oo $ Avevo già provato così ma avevo sbagliato la derivata di $ 2^x $ Grazie mille