Confronto infinitesimi (intuitivamente)
Dato che con lo scorso post sono riuscito a chiarire tutti i miei dubbi, mi piacerebbe poter avere un aiuto di interpretazione in questo altro punto in cui mi sono un poco bloccato.
Il mio professore ha spegato quel che passa sotto il nome di "confronto di infinitesimi" e tutta la storia degli ordini ecc.
In particolare non capisco un esempio semplice..
Prendiamo: $lim_(x->0) x^4/(3x^2)=0$ che è evidente faccia zero.
facciamo che la funzione a numeratore abbia espressione analitica $y=x^4$
e quella a denominatore valga $y=3x^2$ tranne nel punto x=0 che vale 5
Ora abbiamo la condizione che è richiesta dalla regola per il calcolo di un rapporto di limiti che chiede che la funzione a denominatore in $x_0$ abbia valore diverso da zero, Ora non capisco perché applicando la regola del calcolo dei limiti di un rapporto:
$lim_(x->0) x^4/(3x^2)=(lim_(x->0) x^4)/(lim_(x->0)3x^2)=0/0$
Mi verrebbe da concludere che a questo punto ho un valore 0 e 0/0 applicando una regola (quella di rapporto tra due funzioni che dovrebbe essere uguale a limite di una su limite dell'altra) essa non valga. Ho infatti due risultati diversi.
Il mio professore ha spegato quel che passa sotto il nome di "confronto di infinitesimi" e tutta la storia degli ordini ecc.
In particolare non capisco un esempio semplice..
Prendiamo: $lim_(x->0) x^4/(3x^2)=0$ che è evidente faccia zero.
facciamo che la funzione a numeratore abbia espressione analitica $y=x^4$
e quella a denominatore valga $y=3x^2$ tranne nel punto x=0 che vale 5
Ora abbiamo la condizione che è richiesta dalla regola per il calcolo di un rapporto di limiti che chiede che la funzione a denominatore in $x_0$ abbia valore diverso da zero, Ora non capisco perché applicando la regola del calcolo dei limiti di un rapporto:
$lim_(x->0) x^4/(3x^2)=(lim_(x->0) x^4)/(lim_(x->0)3x^2)=0/0$
Mi verrebbe da concludere che a questo punto ho un valore 0 e 0/0 applicando una regola (quella di rapporto tra due funzioni che dovrebbe essere uguale a limite di una su limite dell'altra) essa non valga. Ho infatti due risultati diversi.
Risposte
Ma no, non ti stare a impappinare così. I limiti dipendono dal valore della funzione in un intorno del punto in questione, il valore nel punto esatto non è rilevante. Quindi, qui:
non hai fatto nulla, a livello di calcolo di limiti.
e quella a denominatore valga y=3x2 tranne nel punto x=0 che vale 5
non hai fatto nulla, a livello di calcolo di limiti.
Grazie della risposta.
Usiamo allora la funzione "formale"
ma quindi perché non funziona la regola per calcoli del limite di un rapporto,dato che
uno mi da $lim_(x->0) x^4/(3x^2)=0$
applicando la regola mi definisce $lim_(x->0) x^4/(3x^2)=(lim_(x->0) x^4)/(lim_(x->0)3x^2)=0/0$
Concludendo: non ho stesso risultato
Usiamo allora la funzione "formale"
ma quindi perché non funziona la regola per calcoli del limite di un rapporto,dato che
uno mi da $lim_(x->0) x^4/(3x^2)=0$
applicando la regola mi definisce $lim_(x->0) x^4/(3x^2)=(lim_(x->0) x^4)/(lim_(x->0)3x^2)=0/0$
Concludendo: non ho stesso risultato
Hai le idee MOLTO confuse sul calcolo dei limiti, fai attenzione, se ti presenti ad un esame in queste condizioni hai ottime probabilità di non passare.
Il concetto di "forma indeterminata" non lo hai capito. Non ha senso dire che un limite "fa \(0/0\)". Non ha senso la seconda equazione che hai scritto, in cui il limite di un rapporto diventa il rapporto dei limiti.
Il concetto di "forma indeterminata" non lo hai capito. Non ha senso dire che un limite "fa \(0/0\)". Non ha senso la seconda equazione che hai scritto, in cui il limite di un rapporto diventa il rapporto dei limiti.
Purtroppo hai ragione, ho le idee molto confuse e ho già deciso che analisi I la darò a settembre perché voglio capire il più possibile. Sinceramente non voglio passarlo tanto per, voglio avere una base solida e se devo rimandare rimanderò senza remore. Purtroppo provengo da un classico e capire tutto subito mi è difficilissimo. Sto cercando di imparare pezzo per pezzo ma è dura non posso dire di no!
Detto questo quello che voglio capire è perché non valga la seconda espressione, quello che chiedo non è tanto la forma indeterminata ma il perché non posso spezzare quel limite in quel modo, dato che il limite di un rapporto di funzioni dovrebbe essere il rapporto dei limiti.
Regola: $lim_(x->x_0) f(x)/g(x)=(lim_(x->x_0)f(x))/(lim_(x->x_0)g(x))$
Mi sono accorto che applicandola in questo caso non funziona perché svolgendo poi questi limiti mi troverei a numeratore 0 e a denominatore pure 0, ergo-> O qualche ipotesi del rapporto dei limiti non è rispettata e quindi non è applicabile in qeusto caso o non riesco a spiegarmi il perché non funzioni la regola sopra esposta in questo caso specifico.
Quella era la domanda, anche se mi son spiegato male
Detto questo quello che voglio capire è perché non valga la seconda espressione, quello che chiedo non è tanto la forma indeterminata ma il perché non posso spezzare quel limite in quel modo, dato che il limite di un rapporto di funzioni dovrebbe essere il rapporto dei limiti.
Regola: $lim_(x->x_0) f(x)/g(x)=(lim_(x->x_0)f(x))/(lim_(x->x_0)g(x))$
Mi sono accorto che applicandola in questo caso non funziona perché svolgendo poi questi limiti mi troverei a numeratore 0 e a denominatore pure 0, ergo-> O qualche ipotesi del rapporto dei limiti non è rispettata e quindi non è applicabile in qeusto caso o non riesco a spiegarmi il perché non funzioni la regola sopra esposta in questo caso specifico.
Quella era la domanda, anche se mi son spiegato male
Perché per poter applicare "impunemente" quella regola, la funzione a denominatore non deve annullarsi in $x_0$ ... penso che sul tuo libro questa "clausola" ci sia ... 
"axpgn":
Perché per poter applicare "impunemente" quella regola, la funzione a denominatore non deve annullarsi in $x_0$ ... penso che sul tuo libro questa "clausola" ci sia ...
Eccoci,grazie mille
hai centrato il punto, per questo avevo creato questa funzione appositamente: (dove non si annulla qundo valutata nel punto.)"salterel":
Prendiamo: $lim_(x->0) x^4/(3x^2)=0$ che è evidente faccia zero.
facciamo che la funzione a numeratore abbia espressione analitica $y=x^4$
e quella a denominatore valga $y=3x^2$ tranne nel punto x=0 che vale 5
Ora abbiamo la condizione che è richiesta dalla regola per il calcolo di un rapporto di limiti che chiede che la funzione a denominatore in $x_0$ abbia valore diverso da zero, Ora non capisco perché applicando la regola del calcolo dei limiti di un rapporto:
$lim_(x->0) x^4/(3x^2)=(lim_(x->0) x^4)/(lim_(x->0)3x^2)=0/0$
Mi verrebbe da concludere che a questo punto ho un valore 0 e 0/0 applicando una regola (quella di rapporto tra due funzioni che dovrebbe essere uguale a limite di una su limite dell'altra) essa non valga. Ho infatti due risultati diversi.
della domanda iniziale
Mi chiedevo perché qua non valesse dato che in x_0 vale proprio 5, che non è zero
In poche parole quello che andavo a chiedere era: l'ipotesi dice che non si annulli per la funzione valutata nel punto, ma c'è una classe di funzioni tipo quella definita in quel modo che rispetta le ipotesi ma non fa funzionare la regola del rapporto di limiti. E' qui che mi intorto e non capisco dove
1) In pratica il mio dubbio gira intorno al fatto che ra regola per "spezzare il limite di un rapporto" chiede che la funzione a denominatore nel punto non si annulli quando valutata (sostituita l'incognita) in quel punto.
2) Ho creato una funzione per cui il limite a denominatore valga 0 ma la funzione nel punto sia di valore 5.
3) in teoria ogni ipotesi è rispettata (nel punto non vale 0, vale 5) eppure se separo il limite giungo a qualcosa di errato.
4)Mi chiedo:Perché e dove sbaglio
2) Ho creato una funzione per cui il limite a denominatore valga 0 ma la funzione nel punto sia di valore 5.
3) in teoria ogni ipotesi è rispettata (nel punto non vale 0, vale 5) eppure se separo il limite giungo a qualcosa di errato.
4)Mi chiedo:Perché e dove sbaglio
Hai ragione, sarò più preciso: il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti a patto che il LIMITE del [strike]quoziente[/strike] denominatore sia diverso da zero.
Ecco lì l'errore, era una stupidaggine ma ho iniziato a lavorarci dietro per arrivare addiritura a scomodare il confronto di infinitesimi così da creare con una funzione di cui ero sicuro che facesse 0 e un'altra che facesse 0/0 se applicavo la regola del rapporto di limiti (insomma il quesito di apertura).
Devo dedurre ci sia una imprecisione sul mio libro perché dice infatti: "vale in un punto in cui la funzione g(x) non si annulla, cioè: g(x')diverso da zero."
Uno che sa si accorge, ma essendo la prima volta che affronto i limiti mi ero incastrato.
Devo dedurre ci sia una imprecisione sul mio libro perché dice infatti: "vale in un punto in cui la funzione g(x) non si annulla, cioè: g(x')diverso da zero."
Uno che sa si accorge, ma essendo la prima volta che affronto i limiti mi ero incastrato.
Aspetta che ho sbagliato di nuovo ... pensavo una cosa e ne ho scritto un'altra ... ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti a patto che il LIMITE del DENOMINATORE sia diverso da zero.
Speriamo sia la vo!ta buona ...
Cordialmente, Alex
Il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti a patto che il LIMITE del DENOMINATORE sia diverso da zero.
Speriamo sia la vo!ta buona ...
Cordialmente, Alex
Non ci avevo nemmeno fatto caso perché ormai avevocapito cosa intendevi 
, comunque sì g(x) è proprio denominatore.
A questo punto è proprio una imprecisione del libro.
Grazie di avermi salvato da questi dubbi
, comunque sì g(x) è proprio denominatore.A questo punto è proprio una imprecisione del libro.
"salterel":
E
Devo dedurre ci sia una imprecisione sul mio libro perché dice infatti: "vale in un punto in cui la funzione g(x) non si annulla, cioè: g(x')diverso da zero."
Grazie di avermi salvato da questi dubbi
"salterel":
Non ci avevo nemmeno fatto caso ...
Purtroppo neanch'io ...
Cordialmente, Alex
Siccome siete stati molto gentili @dissonance e @Alex mi piacerebbe farvi due domande riguardo lo studio dell'analisi.
Io sono iscritto a fisica, come vi scrivevo poco sopra provengo da un classico e devo dire che sto davvero arrancando molto in questa prima fase della mia vita accademica (che spero duratura con tutto il cuore).
Il problema è questo, mi rendo conto di avere basi infinitamente più piccole e stupide rispetto a tutti gli altri compagni di corso che provengono da scuole di indirizzo più scientifico.
Ho dato l'esame di algebra lineare superandolo e mi è sembrato molto più semplice e intuitivo di analisi che infatti ho deciso di darla a settembre, non per pigrizia ma piuttosto perché vorrei arrivare a saperla. (Per dimostrare la non pigrizia vi dico solo che studio dalle 8 di matina alle 11.30 di sera, tutti i giorni, we compresi, ho scoperto tardi di amare queste materie purtroppo, ma la mia mente è quela che è)
Comunque per non perdere di vista la domanda centrale, quello che mi accorgo è che con mota fatica riesco a capire le dimostrazioni ma poi mi dimentico spesso di ipotesi o definizioni, devo andare a ripescarle costantemente (non vi dico quanto ho faticato per capire le basi di intorni, intervalli aperti chiusi, punti di frontiera fatti in circa 2 ore di lezione e che penso dovrebbero rimanere facilmente). Con costanza sono riuscito a migliorare lentamente, ma noto di essere anni luce indietro.
Una delle cose che faccio più fatica è ricordare ad esempio alcuni risultati: per dirne una per ricordarmi che l'integrale di riemann per essere tale poggiasse su ipotesi di intervallo chiuso e limitato ci ho messo molto.
Faccio in pratica più fatica a ricordare se l'ipotesi sia di continuità, limitatezza compattezza o altre per ogni teorema o altre ipotesi piuttosto che poi capire la dimostrazione.
La mia paura è non riuscire a essere preparato come vorrei, capire tutto, non voglio lasciare cose non capite alle spalle ma molto spesso mi capita di capire cose e anche dimenticarle.
Mi piacerebbe avere una dritta, un consiglio in questoambito di studio a me nuovo ma così tanto bello.
Vi ringrazio come sempre per la gentilezza e l'aiuto che mi avete dato finora!
Io sono iscritto a fisica, come vi scrivevo poco sopra provengo da un classico e devo dire che sto davvero arrancando molto in questa prima fase della mia vita accademica (che spero duratura con tutto il cuore).
Il problema è questo, mi rendo conto di avere basi infinitamente più piccole e stupide rispetto a tutti gli altri compagni di corso che provengono da scuole di indirizzo più scientifico.
Ho dato l'esame di algebra lineare superandolo e mi è sembrato molto più semplice e intuitivo di analisi che infatti ho deciso di darla a settembre, non per pigrizia ma piuttosto perché vorrei arrivare a saperla. (Per dimostrare la non pigrizia vi dico solo che studio dalle 8 di matina alle 11.30 di sera, tutti i giorni, we compresi, ho scoperto tardi di amare queste materie purtroppo, ma la mia mente è quela che è)
Comunque per non perdere di vista la domanda centrale, quello che mi accorgo è che con mota fatica riesco a capire le dimostrazioni ma poi mi dimentico spesso di ipotesi o definizioni, devo andare a ripescarle costantemente (non vi dico quanto ho faticato per capire le basi di intorni, intervalli aperti chiusi, punti di frontiera fatti in circa 2 ore di lezione e che penso dovrebbero rimanere facilmente). Con costanza sono riuscito a migliorare lentamente, ma noto di essere anni luce indietro.
Una delle cose che faccio più fatica è ricordare ad esempio alcuni risultati: per dirne una per ricordarmi che l'integrale di riemann per essere tale poggiasse su ipotesi di intervallo chiuso e limitato ci ho messo molto.
Faccio in pratica più fatica a ricordare se l'ipotesi sia di continuità, limitatezza compattezza o altre per ogni teorema o altre ipotesi piuttosto che poi capire la dimostrazione.
La mia paura è non riuscire a essere preparato come vorrei, capire tutto, non voglio lasciare cose non capite alle spalle ma molto spesso mi capita di capire cose e anche dimenticarle.
Mi piacerebbe avere una dritta, un consiglio in questoambito di studio a me nuovo ma così tanto bello.
Vi ringrazio come sempre per la gentilezza e l'aiuto che mi avete dato finora!
Io non posso dirti granché, non ho fatto l'università ... ... comunque, non mi sembra una situazione particolare, tutti fanno fatica, chi più e chi meno ... hai dato Algebra Lineare, che sarà meno "esoterica" di Analisi ma è pur sempre un esame importante.
L'unica cosa che mi sento di dirti è di non esagerare (16 ore al giorno, 7 su 7 é troppo secondo me, idem l'idea di voler comprendere tutto ma proprio tutto), l'importante è trovare il proprio metodo di studio, il proprio ritmo, il proprio passo (per esempio capire cosa approfondire e cosa meno, come distribuire le proprie risorse, e così via ...)
Stai tranquillo
Cordialmente, Alex
... comunque, non mi sembra una situazione particolare, tutti fanno fatica, chi più e chi meno ... hai dato Algebra Lineare, che sarà meno "esoterica" di Analisi ma è pur sempre un esame importante.L'unica cosa che mi sento di dirti è di non esagerare (16 ore al giorno, 7 su 7 é troppo secondo me, idem l'idea di voler comprendere tutto ma proprio tutto), l'importante è trovare il proprio metodo di studio, il proprio ritmo, il proprio passo (per esempio capire cosa approfondire e cosa meno, come distribuire le proprie risorse, e così via ...)
Stai tranquillo
Cordialmente, Alex
Sono d'accordo con Alex, stai tranquillo.
Effettivamente sono un odioso perfezionista, mi spremo molto.
Seguirò con fiducia i vostri consigli
Seguirò con fiducia i vostri consigli
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