Confronto di funzioni

[Claudia87an]

Se ho due funzioni $g(h)\leq f(h)$ per ogni $h>0$ posso concludere che:
$g(h)\leq \lim_{h\to 0}f(h)$ $\forall h>0$

[Plepp]

Ciao. Mi pare di no, se non hai la continuità di $f$ e $g$. Se mi viene in mente un controesempio ti faccio sapere

EDIT: ooops avevo letto male! Pensavo che volessi dimostrare questo:
\[g(x)\leq f(x)\quad \forall x>0\implies \lim_{x\to 0}g(x)\leq \lim_{x\to 0} f(x)\]
Quello che dici è ovviamente falso in generale, come ti ha fatto notare Pallit

[Palliit]

Ciao.

"Claudia87an":$g(h)\leq \lim_{h\to 0}f(h)$ $\forall h>0$

Il primo membro è una funzione di $h$, il secondo è un limite (in cui sarebbe opportuno indicare la variabile rispetto a cui calcoli il limite con un simbolo diverso da $h$) che:

- è un numero se il limite è finito, per cui si vede chiaramente che ciò che hai scritto non è vero: se ad esempio $g(h)=h$ ed $f(h)=2h$ hai: $2h>=h$ $\forall h>0$, ma il limite di $f(h)$ per $h \rightarrow 0$ è $0$ e non è vero che $g(h)=h<=0$ $\forall h>0$ ;

- potrebbe essere $\pm \infty$, nel qual caso la disuguaglianza è assurda oppure ovvia;

- potrebbe non esistere, come ad es. nel caso: $f(h)=\cos (1/h)$ e $g(h)=-1$, e allora la disuguaglianza diventa priva di senso.