Confronto asintotico/confronto per serie
Buonasera, studiando la semplice:
$\sum_(n>=1) (sin(1/n))1/n^a$
proposta nel tutorato mi è sorto un dubbio
Se studio tale serie con il confronto asintotico è facile vedere che converge per $a>0$ e diverge per valori di $a<=0$.
Tuttavia ho pensato, dato che $sin(1/x)$ è definitivamente maggiore di zero posso anche dire che
$a_n=(sin(1/x))*1/n^a<=1/n^a=b_n$ e se applicassi sulle $a_n$ e $b_n$ il confronto allora noterei (dato che la serie $1/n^a$) è armonica che converge per $a>1$.
Ma dove sbaglio?
$\sum_(n>=1) (sin(1/n))1/n^a$
proposta nel tutorato mi è sorto un dubbio
Se studio tale serie con il confronto asintotico è facile vedere che converge per $a>0$ e diverge per valori di $a<=0$.
Tuttavia ho pensato, dato che $sin(1/x)$ è definitivamente maggiore di zero posso anche dire che
$a_n=(sin(1/x))*1/n^a<=1/n^a=b_n$ e se applicassi sulle $a_n$ e $b_n$ il confronto allora noterei (dato che la serie $1/n^a$) è armonica che converge per $a>1$.
Ma dove sbaglio?
Risposte
Ciao harperf,
Mi sa che l'hai scritta male, perché così come è scritta si ha:
$ \sum_{n>=1}(sin1/n)1/n^a = sin1 \sum_{n>=1} 1/n^{a + 1} $
L'ultima serie scritta è la serie armonica generalizzata e converge per $a > 0 $
"harperf":
Buonasera, studiando la semplice:
$ \sum_(n>=1) (sin1/n)1/n^a $
Mi sa che l'hai scritta male, perché così come è scritta si ha:
$ \sum_{n>=1}(sin1/n)1/n^a = sin1 \sum_{n>=1} 1/n^{a + 1} $
L'ultima serie scritta è la serie armonica generalizzata e converge per $a > 0 $
Perdonami, ho fatto un "paciugo" con le parentesi. Ho corretto il messaggio iniziale.
Ciao!
Sbagli nella prima considerazione.
Scritta per com’è non si tratta di una serie armonica quindi non puoi dire chenconverge per quei valori di $alpha$. A cosa è asintotica la successione $sin(1/n)*1/n^(alpha)$?
Sbagli nella prima considerazione.
Scritta per com’è non si tratta di una serie armonica quindi non puoi dire chenconverge per quei valori di $alpha$. A cosa è asintotica la successione $sin(1/n)*1/n^(alpha)$?
Ciao anto 
Il problema diciamo è che usando il criterio asintotico torna.
Per rispondere allatua domanda è asintotica a: $1/n^(a+1)$ e sfruterei il criterio di confronto asintotico.
Il dubbio è sul criterio del confronto (non asintotico)
Quindi l'errore nel criterio del confronto (non asintotico intendo, cioè la seconda parte del post iniziale) è dato dal fatto che non posso trarre conclusioni sul valore di alfa perché in effetti maggiorandola con $1/n^a$ per a=1 diverge e quindi non posso trarre conclusioni su quella iniziale. D'altra parte troverei che converge per a>1 che è meno restrittiva di a>0 data dal criterio asintotico. Non ci avevo pensato!
Il problema diciamo è che usando il criterio asintotico torna.
Per rispondere allatua domanda è asintotica a: $1/n^(a+1)$ e sfruterei il criterio di confronto asintotico.
Il dubbio è sul criterio del confronto (non asintotico)
Quindi l'errore nel criterio del confronto (non asintotico intendo, cioè la seconda parte del post iniziale) è dato dal fatto che non posso trarre conclusioni sul valore di alfa perché in effetti maggiorandola con $1/n^a$ per a=1 diverge e quindi non posso trarre conclusioni su quella iniziale. D'altra parte troverei che converge per a>1 che è meno restrittiva di a>0 data dal criterio asintotico. Non ci avevo pensato!
Ok. Tranquillo ho letto male io: sto invecchiando 
Tra l’altro non hai nemmeno sbaglIato
Comunque: il procedimento che fai con la maggiorazione è corretto e ti porta a dire che se $alpha>1$ allora la serie converge. Questa è una condizione sufficiente ed è vera. D’altro canto se $alphaleq1$ allora la serie messa sopra diverge, ma non ti da nessuna informazione sulla tua serie, visto che sta sotto, no?
In poche parole con la maggiorazione non hai informazioni globali: la contraddizione nascerebbe qualora tu avessi dimostrato che maggiorando la serie di sotto ti diverge per tutti gli $alphaleq1$ ma sai che non potrai mai provarlo
Tra l’altro non hai nemmeno sbaglIato
Comunque: il procedimento che fai con la maggiorazione è corretto e ti porta a dire che se $alpha>1$ allora la serie converge. Questa è una condizione sufficiente ed è vera. D’altro canto se $alphaleq1$ allora la serie messa sopra diverge, ma non ti da nessuna informazione sulla tua serie, visto che sta sotto, no?
In poche parole con la maggiorazione non hai informazioni globali: la contraddizione nascerebbe qualora tu avessi dimostrato che maggiorando la serie di sotto ti diverge per tutti gli $alphaleq1$ ma sai che non potrai mai provarlo
Yep ora ci sono. In effeti è quel che cercavo di dire ma male nel post sopra. Cioè, insomma, con la tua precedente mi hai fatto intendere l'errore interpretativo
Grazie
Grazie
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