Confronto asintotico tra infinitesimi
Salve, avrei alcuni dubbi sul confronto asintotico tra infinitesimi generici in notazione di landau ( o peano... sarebbero gli "o piccoli" ). Potete correggermi se sbaglio?
1) Un "o piccolo" è un modo di intendere un qualunque termine che tende a 0 più rapidamente del termine scritto tra parentesi. Esempio --> x^5 è un o( x^4 ).
2) Gli "o piccoli" determinano un certo grado di approssimazione nello sviluppo asintotico in forma di taylor. Quindi tecnicamente, più grande è il grado del termine dell' "o piccolo", migliore è l'approssimazione.
3) Se tutto questo che ho scritto qui sopra è giusto, presupporrebbe che se io avessi qualcosa del tipo:
*) o(x^5) + o(x^10) + o(x^3)
si può anche scrivere solo o(x^3), perchè gli altri due sono approssimazioni migliori di un'approssimazione più discreta, che quindi perdono di significato ( scusate il modo un pò contorto di esprimermi!
**) x^3 + 6x^10 + o(x^7)
si può scrivere anche solo x^3 + o(x^7), per lo stesso motivo di prima
Giusto? Ultimo esempio ( più pratico ). Io ho:
4) lim (x->0) [ (x^4)/3 + o(x^4) ] / [ x^4 + (x^6)/3 + o(x^4) ]
Questo limite è giusto che vale 1/3? Asintoticamente parlando il discorso mi quadra, però il fatto è che ricordando il discorso dei limiti e dei gradi di infinitesimi, io avrei detto che questo tende a infinito, pensando che, comunque, il grado del polinomio al denominatore è maggiore di quello al numeratore.
Cioè... nei limiti io ricordo che il grado più forte era il grado più alto. Invece ora, sembra che il grado più basso vinca, Ho un pò di confusione su questo aspetto.. spero che possiate chiarirmi la situazione! Grazie in anticipo!
1) Un "o piccolo" è un modo di intendere un qualunque termine che tende a 0 più rapidamente del termine scritto tra parentesi. Esempio --> x^5 è un o( x^4 ).
2) Gli "o piccoli" determinano un certo grado di approssimazione nello sviluppo asintotico in forma di taylor. Quindi tecnicamente, più grande è il grado del termine dell' "o piccolo", migliore è l'approssimazione.
3) Se tutto questo che ho scritto qui sopra è giusto, presupporrebbe che se io avessi qualcosa del tipo:
*) o(x^5) + o(x^10) + o(x^3)
si può anche scrivere solo o(x^3), perchè gli altri due sono approssimazioni migliori di un'approssimazione più discreta, che quindi perdono di significato ( scusate il modo un pò contorto di esprimermi!
**) x^3 + 6x^10 + o(x^7)
si può scrivere anche solo x^3 + o(x^7), per lo stesso motivo di prima
Giusto? Ultimo esempio ( più pratico ). Io ho:
4) lim (x->0) [ (x^4)/3 + o(x^4) ] / [ x^4 + (x^6)/3 + o(x^4) ]
Questo limite è giusto che vale 1/3? Asintoticamente parlando il discorso mi quadra, però il fatto è che ricordando il discorso dei limiti e dei gradi di infinitesimi, io avrei detto che questo tende a infinito, pensando che, comunque, il grado del polinomio al denominatore è maggiore di quello al numeratore.
Cioè... nei limiti io ricordo che il grado più forte era il grado più alto. Invece ora, sembra che il grado più basso vinca, Ho un pò di confusione su questo aspetto.. spero che possiate chiarirmi la situazione! Grazie in anticipo!
Risposte
Direi che quello che hai scritto (1-4) è corretto.
Per quanto riguarda i polinomi, forse stai facendo confusione con i limiti all'infinito.
Quando $x\to 0$, "vince" il grado più basso. Quando $|x|\to +\infty$, "vince" il grado più alto.
Per quanto riguarda i polinomi, forse stai facendo confusione con i limiti all'infinito.
Quando $x\to 0$, "vince" il grado più basso. Quando $|x|\to +\infty$, "vince" il grado più alto.
"gac":
Direi che quello che hai scritto (1-4) è corretto.
Per quanto riguarda i polinomi, forse stai facendo confusione con i limiti all'infinito.
Quando $x\to 0$, "vince" il grado più basso. Quando $|x|\to +\infty$, "vince" il grado più alto.
Mmm.. hai proprio ragione, non ci avevo pensato! Questo fa quadrare molte cose
Però una cosa. Perchè questa espressione:
$ [ 1/3 x^4 + o( x^4 ) ] / [ x^4 + 1/3 x^6 + o( x^4 ) ] $
al tendere di x -> 0, tende a 1/3? Riflettendoci, la semplificazione ottenuta dalla messa in evidenza del termine di grado massimo in entrambi i numeratori ha senso solo al tendere di x a infinito. Ma, visto che il limite è per x -> 0, come dovrei ricavarmi il limite del rapporto di questi polinomi?[/tex]
$x^6 = o(x^4)$ per $x\to 0$.
Il denominatore è quindi $x^4 + o(x^4)$.
Il denominatore è quindi $x^4 + o(x^4)$.
"gac":
$x^6 = o(x^4)$ per $x\to 0$.
Il denominatore è quindi $x^4 + o(x^4)$.
dunque semplificazione semplice
( troppi giochi di parole in questo topic XD )Grazie dell'aiuto! E' stato davvero prezioso
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