Confronti asintotici
Ciao a tutti, avrei una domanda di teoria piuttosto che qualche esercizio da proporre.. Ho qualche difficoltà con gli integrali impropri, a capire quando convergono e quando divergono. Se studio la funzione integranda per x che tende a zero allora non ho problemi perchè uso le formule di mc laurin arrestate al primo ordine.
I miei problemi sorgono quando la fuzione integranda la devo studiare per x che tende a infinito.
Come faccio a trovare una funzione con cui confrontarla? So che il limite del rapporto tra le funzioni deve risultare uno, ma come faccio a trovare la funzione con cui confrontarla?
Faccio un esempio
$ \ int_ 0^infty [((π/2) - arctgx)^b]/ sqrtx dx $
Chiaramente devo stare attenta al comportamento dell'arcotangente. Per x che tende a zero si comporta come il suo argomento, ossia x. Lo sostituisco nella funzione integranda e poi ricorro agli integrali impropri notevoli.
Ma per x che tende a infinito? Non so come fare.
Potete darmi una mano? Nel mio libro di teoria non riesco davvero a capire come venirne fuori. Grazie!
I miei problemi sorgono quando la fuzione integranda la devo studiare per x che tende a infinito.
Come faccio a trovare una funzione con cui confrontarla? So che il limite del rapporto tra le funzioni deve risultare uno, ma come faccio a trovare la funzione con cui confrontarla?
Faccio un esempio
$ \ int_ 0^infty [((π/2) - arctgx)^b]/ sqrtx dx $
Chiaramente devo stare attenta al comportamento dell'arcotangente. Per x che tende a zero si comporta come il suo argomento, ossia x. Lo sostituisco nella funzione integranda e poi ricorro agli integrali impropri notevoli.
Ma per x che tende a infinito? Non so come fare.
Potete darmi una mano? Nel mio libro di teoria non riesco davvero a capire come venirne fuori. Grazie!
Risposte
Beh
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{\pi }{2} - \arctan \left( x \right)}}{{\frac{1}{x}}} = 1\]
cioè per $x->+oo$ quel numeratore è un infinitesimo di ordine 1, quindi
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{{\left[ {\frac{\pi }{2} - \arctan \left( x \right)} \right]}^b}}}{{\sqrt x }} = \frac{{0{\text{ di ordine }}b}}{{ + \infty {\text{ di ordine }}0,5}} = 0{\text{ di ordine }}\left( {b + \frac{1}{2}} \right)\]
Se $b>1/2$ allora l'integrale converge, altrimenti diverge
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{\pi }{2} - \arctan \left( x \right)}}{{\frac{1}{x}}} = 1\]
cioè per $x->+oo$ quel numeratore è un infinitesimo di ordine 1, quindi
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{{\left[ {\frac{\pi }{2} - \arctan \left( x \right)} \right]}^b}}}{{\sqrt x }} = \frac{{0{\text{ di ordine }}b}}{{ + \infty {\text{ di ordine }}0,5}} = 0{\text{ di ordine }}\left( {b + \frac{1}{2}} \right)\]
Se $b>1/2$ allora l'integrale converge, altrimenti diverge
"Brancaleone":
Beh
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\frac{\pi }{2} - \arctan \left( x \right)}}{{\frac{1}{x}}} = 1\]
cioè per $x->+oo$ quel numeratore è un infinitesimo di ordine 1, quindi
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{{\left[ {\frac{\pi }{2} - \arctan \left( x \right)} \right]}^b}}}{{\sqrt x }} = \frac{{0{\text{ di ordine }}b}}{{ + \infty {\text{ di ordine }}0,5}} = 0{\text{ di ordine }}\left( {b + \frac{1}{2}} \right)\]
Se $b>1/2$ allora l'integrale converge, altrimenti diverge
Grazie mille! Solo una domanda, che è quella fondamentale: COME HAI SCELTO $ 1/x $ PER IL CONFRONTO ASINTOTICO?
Brancaleonne sei sparito :'-(
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