Conferma trasformata

[emitrax]

Scusate se sono sempre qua, ma martedi ho l'esame di metodi, è devo obbligatoriamente passarlo!

Volevo sapere se qualcuno gentilmente poteva confermarmi questa semplice trasformata di fourier

$f(x) = \{ (e^|x| " per " -1
Ecco il procedimento

$int_-1^0e^(-x)e^(-iwx)dx + int_0^1e^xe^(-iwx)dx$
$e^(-(1+iw)x)/(-(1+iw))$ tra -1 e 0
$e^((1-iw)x)/(1-iw)$ tra 0 e 1
quindi viene
$-(1)/(1+iw) + e^(1+iw)/(1+iw)$ tra -1 e 0
$e^(1-iw)/(1-iw)-1/(1-iw)$ tra 0 e 1
quindi
$(e^(1-i|w|)-1)/(1-i|w|)$

Grazie come sempre.

[_nicola de rosa]

"emitrax":Scusate se sono sempre qua, ma martedi ho l'esame di metodi, è devo obbligatoriamente passarlo!

Volevo sapere se qualcuno gentilmente poteva confermarmi questa semplice trasformata di fourier

$f(x) = \{ (e^|x| " per " -1
Ecco il procedimento

$int_-1^0e^(-x)e^(-iwx)dx + int_0^1e^xe^(-iwx)dx$
$e^(-(1+iw)x)/(-(1+iw))$ tra -1 e 0
$e^((1-iw)x)/(1-iw)$ tra 0 e 1
quindi viene
$-(1)/(1+iw) + e^(1+iw)/(1+iw)$ tra -1 e 0
$e^(1-iw)/(1-iw)-1/(1-iw)$ tra 0 e 1
quindi
$(e^(1-i|w|)-1)/(1-i|w|)$

Grazie come sempre.

$int_-1^0e^(-x)e^(-i*omega* x)dx + int_0^1e^xe^(-i*omega*x)dx=[-e^(-(1+i*omega)x)/(1+i*omega*)]_{-1}^{0}+[e^(x(1-i*omega))/(1-i*omega*)]_{0}^{1}$
=$(e^(1+i*omega))/(1+i*omega)-1/(1+i*omega)+(e^(1-i*omega))/(1-i*omega)-1/(1-i*omega)$=
$(-(1-i*omega)+(1-i*omega)*e^(1+i*omega)+e^(1-i*omega)(1+i*omega)-(1+i*omega))/(1+omega^2)$=
$((1-i*omega)*e^(1+i*omega)+e^(1-i*omega)(1+i*omega)-2)/(1+omega^2)$=
$(2e(e^(i*omega)+e^(-i*omega))/2+2e*omega*(e^(i*omega)-e^(-i*omega))/(2i)-2)/(1+omega^2)$=
$(2ecosomega+2e*omega*sin omega-2)/(1+omega^2)$

[Sk_Anonymous]

Calcoli da far girare la testa! Il tuo risultato è certamente sbagliato, emitrax: se $f: RR \to RR$ è una funzione Fourier-trasformabile tale che $f(x) = f(-x)$, per ogni $x \in RR$, allora la sua trasformata $F: RR \to CC: \omega \to \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{-i\omega x} dx$ è tale che $F(\omega) = F^*(\omega)$, per ogni $\omega \in RR$, e perciò $F$ è una funzione $RR \to RR$.

[Sk_Anonymous]

Inoltre $F(\omega) = 2\int_0^{+\infty} f(x) cos(\omega x) dx$, per ogni $\omega \in RR$, i.e. (nel tuo caso): $F(\omega) = 2\int_0^1 e^x \cos(\omega x) dx$. Se non altro ti eviti una parte di quei beceri contazzi...

[_nicola de rosa]

"DavidHilbert":Inoltre $F(\omega) = 2\int_0^{+\infty} f(x) cos(\omega x) dx$, per ogni $\omega \in RR$, i.e. (nel tuo caso): $F(\omega) = 2\int_0^1 e^x \cos(\omega x) dx$. Se non altro ti eviti una parte di quei beceri contazzi...

però ti fai un integrazione per parti

[Sk_Anonymous]

"nicola de rosa":[quote="DavidHilbert"]Inoltre $F(\omega) = 2\int_0^{+\infty} f(x) cos(\omega x) dx$, per ogni $\omega \in RR$, i.e. (nel tuo caso): $F(\omega) = 2\int_0^1 e^x \cos(\omega x) dx$. Se non altro ti eviti una parte di quei beceri contazzi...

però ti fai un integrazione per parti[/quote]
Mica vero - pensavo fosse evidente! Nelle medesime ipotesi e con le stesse notazioni di cui al mio precedente intervento: $F(\omega) = \int_0^1 e^{(1-i\omega) x} dx + \int_0^1 e^{(1+i\omega) x} dx$. E se anche fosse, poi...

[_nicola de rosa]

"DavidHilbert":[quote="nicola de rosa"][quote="DavidHilbert"]Inoltre $F(\omega) = 2\int_0^{+\infty} f(x) cos(\omega x) dx$, per ogni $\omega \in RR$, i.e. (nel tuo caso): $F(\omega) = 2\int_0^1 e^x \cos(\omega x) dx$. Se non altro ti eviti una parte di quei beceri contazzi...

però ti fai un integrazione per parti[/quote]
Mica vero - pensavo fosse evidente! Nelle medesime ipotesi e con le stesse notazioni di cui al mio precedente intervento: $F(\omega) = \int_0^1 e^{(1-i\omega) x} dx + \int_0^1 e^{(1+i\omega) x} dx$.[/quote]
così non ti eviti una parte di quei contazzi così come li hai chiamati tu.

[Sk_Anonymous]

Vada allora per l'integrazione per parti: $I(\omega) := \int_0^1 e^x \cos(\omega x) dx = [e^x \cos(\omega x)]_0^1 + \omega \int_0^1 e^x \sin(\omega x) dx = [e^x(\cos(\omega x) + \omega \sin(\alpha x))]_0^1 - \omega^2 I(\omega)$, per cui $F(\omega) = 2I = \frac{2e(\cos(\omega) + \omega \sin(\omega)) - 2}{1 + \omega^2}$.

[emitrax]

"nicola de rosa":[quote="emitrax"]
quindi
$(e^(1-i|w|)-1)/(1-i|w|)$

Grazie come sempre.

$int_-1^0e^(-x)e^(-i*omega* x)dx + int_0^1e^xe^(-i*omega*x)dx=[-e^(-(1+i*omega)x)/(1+i*omega*)]_{-1}^{0}+[e^(x(1-i*omega))/(1-i*omega*)]_{0}^{1}$
=$(e^(1+i*omega))/(1+i*omega)-1/(1+i*omega)+(e^(1-i*omega))/(1-i*omega)-1/(1-i*omega)$=
$(-(1-i*omega)+(1-i*omega)*e^(1+i*omega)+e^(1-i*omega)(1+i*omega)-(1+i*omega))/(1+omega^2)$=
$((1-i*omega)*e^(1+i*omega)+e^(1-i*omega)(1+i*omega)-2)/(1+omega^2)$=
$(2e(e^(i*omega)+e^(-i*omega))/2+2e*omega*(e^(i*omega)-e^(-i*omega))/(2i)-2)/(1+omega^2)$=
$(2ecosomega+2e*omega*sin omega-2)/(1+omega^2)$[/quote]

Ok. A me viene negativo il seno, ma poco importa.

Quindi quel ragionamento che ho fatto all'ultimo passaggio è totalmente insensato ? ... Azz

Comunque grazie mille!

[_nicola de rosa]

"emitrax":[quote="nicola de rosa"][quote="emitrax"]
quindi
$(e^(1-i|w|)-1)/(1-i|w|)$

Grazie come sempre.

$int_-1^0e^(-x)e^(-i*omega* x)dx + int_0^1e^xe^(-i*omega*x)dx=[-e^(-(1+i*omega)x)/(1+i*omega*)]_{-1}^{0}+[e^(x(1-i*omega))/(1-i*omega*)]_{0}^{1}$
=$(e^(1+i*omega))/(1+i*omega)-1/(1+i*omega)+(e^(1-i*omega))/(1-i*omega)-1/(1-i*omega)$=
$(-(1-i*omega)+(1-i*omega)*e^(1+i*omega)+e^(1-i*omega)(1+i*omega)-(1+i*omega))/(1+omega^2)$=
$((1-i*omega)*e^(1+i*omega)+e^(1-i*omega)(1+i*omega)-2)/(1+omega^2)$=
$(2e(e^(i*omega)+e^(-i*omega))/2+2e*omega*(e^(i*omega)-e^(-i*omega))/(2i)-2)/(1+omega^2)$=
$(2ecosomega+2e*omega*sin omega-2)/(1+omega^2)$[/quote]

Ok. A me viene negativo il seno, ma poco importa.

Quindi quel ragionamento che ho fatto all'ultimo passaggio è totalmente insensato ? ... Azz

Comunque grazie mille![/quote]
infatti non riesco a capire perchè hai messo quel modulo

[emitrax]

Nella risoluzione della trasformata della funzione $1/(1+x^2)$ usando il lemma di jordan, per $omega<0$ viene $pie^omega$ , mentre
per $omega>0$ viene $pie^(-omega)$, mentre a $0$ fa $pi$. Risultato finale $pie^|omega|$. Pensavo di poter fare lo stesso ragionamento, ma probabilmente mi sfugge qualche concetto di base.

[_nicola de rosa]

"emitrax":Nella risoluzione della trasformata della funzione $1/(1+x^2)$ usando il lemma di jordan, per $omega<0$ viene $pie^omega$ , mentre
per $omega>0$ viene $pie^(-omega)$, mentre a $0$ fa $pi$. Risultato finale $pie^|omega|$. Pensavo di poter fare lo stesso ragionamento, ma probabilmente mi sfugge qualche concetto di base.

in tal caso però tu hai che la tua funzione è pari ad $e^(|x|)$ per $-1<=x<=1$ e zero fuori da questo intervallo.