Conferma svolgimento limite

[Vash437]

Oggi vi chiedo una semplice conferma sullo svolgimento di un limite, dovrebbe essere giusto ma vorrei esser sicuro che si faccia effettivamente cosi..nel caso poi se aveste delle migliorie da propormi sono sempre ben accette

f(x) = $ root(3)(x(ln(x)-1)^2) $

$ lim_(x -> 0)(root(3)(x(ln(x)-1)^2)) = 0(-infty)$ forma indeterminata, per sostituzione ho

$ ln(x) = t $ --> $ x = e^t $ con $ t -> -infty $ quindi

$ lim_(t -> -infty)(root(3)(e^t(t-1)^2)) = 0(-infty) $ ma ora posso applicare Hopital perchè il limite tende a $ -infty $ quindi porto l'argomento della radice nella forma

$ lim_(t -> -infty)(((t-1)^2)/(e^(-t))) = infty/infty $ e con Hopital --> $ lim_(t -> -infty)((2(t-1))/-e^(-t)) = infty/infty $

applicando un ultima volta Hopital ho

$ lim_(t -> -infty)(2/e^t) = 0 $ insomma un pò un casotto ma sembra giusto..mi confermate? vi ringrazio

[Brancaleone1]

Tutto ok ma hai dimenticato un "meno" all'esponente nell'ultima riga :

"Vash437":
\(\displaystyle \lim_{t \rightarrow -\infty} \frac{2}{\color{red}{{e^{-t}}}} = 0 \)

Potevi comunque risparmiarti Hopital dopo aver sostituito:

$lim_(t -> -oo) root(3)(e^t(t-1)^2)$

Qui ti accorgi che l'esponenziale tende a $0$ più velocemente di quanto $(t-1)^2$ tenda a $+oo$, e quindi il limite è $0$.

[Vash437]

ah si giusto, un errore d battitura nel riportarlo qui ..ok avevo supposto si potesse risolvere anche con l'asintoticità ma per sicurezza ho voluto svolgerlo tutto in quel modo..ti ringrazio