Conferma su una serie
Ciao a tutti, ho risolto questo esercizio che chiede di studiare il carattere di una serie al variare di x, il problema è che non ho la soluzione e quindi volevo un parere :
$(x^2 +1)^(n) / n^3$ serie che va da n = 1 a +infinito.
Io ho trovato che la serie diverge a + infinito quando $ x < - 1$ U $ x > 1$ mentre diverge quando $-1 < x < 1$
E' giusto?
$(x^2 +1)^(n) / n^3$ serie che va da n = 1 a +infinito.
Io ho trovato che la serie diverge a + infinito quando $ x < - 1$ U $ x > 1$ mentre diverge quando $-1 < x < 1$
E' giusto?
Risposte
Ciao,
premetto che non sono bravo con le serie, ti rispondo cosicché se sbaglio qualcuno più bravo mi corregge e imparo, ma sono piuttosto sicuro di quello che sto per scrivere:
Di certo un esponenziale con base $>1$ "esplode" più velocemente di qualsiasi potenza. Quindi se al numeratore si ha che:
$x^2+1>1$ il limite del termine generale della serie non tende a 0 e la serie diverge (essendo a termini positivi). Questo accade per $x^2>0$ e cioè per ogni $x \ne 0$. Per $x= 0$ il termine generale vale $1/(n^3)$ e per confronto asintotico la serie converge. Quindi la serie converge per $x=0$ e diverge altrimenti
premetto che non sono bravo con le serie, ti rispondo cosicché se sbaglio qualcuno più bravo mi corregge e imparo, ma sono piuttosto sicuro di quello che sto per scrivere:
Di certo un esponenziale con base $>1$ "esplode" più velocemente di qualsiasi potenza. Quindi se al numeratore si ha che:
$x^2+1>1$ il limite del termine generale della serie non tende a 0 e la serie diverge (essendo a termini positivi). Questo accade per $x^2>0$ e cioè per ogni $x \ne 0$. Per $x= 0$ il termine generale vale $1/(n^3)$ e per confronto asintotico la serie converge. Quindi la serie converge per $x=0$ e diverge altrimenti
"Ziben":
Ciao,
premetto che non sono bravo con le serie, ti rispondo cosicché se sbaglio qualcuno più bravo mi corregge e imparo, ma sono piuttosto sicuro di quello che sto per scrivere:
Di certo un esponenziale con base $>1$ "esplode" più velocemente di qualsiasi potenza. Quindi se al numeratore si ha che:
$x^2+1>1$ il limite del termine generale della serie non tende a 0 e la serie diverge (essendo a termini positivi). Questo accade per $x^2>0$ e cioè per ogni $x \ne 0$. Per $x= 0$ il termine generale vale $1/(n^3)$ e per confronto asintotico la serie converge. Quindi la serie converge per $x=0$ e diverge altrimenti
Non sono molto convinto, noterai che se x è compreso tra -1 e 1 la somma dei termini della successione si addensa sempre di più ad un numero finito (credo sia 2).. qualcun altro vuole intervenire?
UP
mmmh...se prendiamo $x=1/2$ a titolo di prova, si ha $((5/4)^n)/(n^3)$ e questo non tende a 0, ergo la serie corrispondente non converge. Tu hai calcolato la somma parziale?
"Ziben":
mmmh...se prendiamo $x=1/2$ a titolo di prova, si ha $((5/4)^n)/(n^3)$ e questo non tende a 0, ergo la serie corrispondente non converge. Tu hai calcolato la somma parziale?
Sì
Ciao, allora sei a cavallo 
Io ci ho provato ma non ci sono riuscito, non è che potresti postare come hai calcolato la somma parziale? O vuoi tenerti il segreto ?
Io ci ho provato ma non ci sono riuscito, non è che potresti postare come hai calcolato la somma parziale? O vuoi tenerti il segreto
?
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