Conferma su esercizio spazi $L^p$
Volevo una conferma per lo svolgimento di questo esercizio:
Per $\lambda in RR$ sia $u_(\lambda)$ la funzione definita in $(0,1)$ da
$u_(\lambda)(x)=k^(\lambda) , x in [1/(k+1),1/k)$. Per $p=1,2,oo$ determinare i $(\lambda)$ tali che $u_(\lambda) in L^p$
Svolgimento:
1)$p=1 => u_(\lambda) in L^1(0,1) <=> ||u_(\lambda)||_1<+oo <=> sum_(k=1)^(+oo) int_(1/(k+1))^(1/k)k^(\lambda)<+oo$
facendo un pò di conti ho trovato che quella serie risulta essere $sum_(k=1)^(+oo) k^(\lambda - 2)$ la quale converge per
$\lambda < 1$.
2)$p=2 =>u_(\lambda) in L^2(0,1) <=> ||u_(\lambda)||_2<+oo <=> sum_(k=1)^(+oo) int_(1/(k+1))^(1/k)k^(2(\lambda))<+oo$
anche qui con un pò di conti arrivo ad una serie armonica e la condizione di convergenza è per $\lambda<1/2$
3)$p=oo$ qui ho studiato i vari casi che dipendono dal parametro $\lambda$
$\lambda=0 => u_(\lambda)=1$ che è proprio il sup essenziale quindi $u_(\lambda) in L^oo$
$\lambda>0 => lim_(k->+oo)u_(\lambda)=+oo=$ sup$u_(\lambda) => u_(\lambda) \notin L^oo$
$\lambda<0 => lim_(k->+oo)u_(\lambda)=0$ quindi la funzione al crescere di k tende a zero, e assume il valore massimo per $k=1$ cioè $u_(\lambda)<=1$ che è il sup essenziale, quindi $u_(\lambda) in L^oo$.
Va bene!?
Per $\lambda in RR$ sia $u_(\lambda)$ la funzione definita in $(0,1)$ da
$u_(\lambda)(x)=k^(\lambda) , x in [1/(k+1),1/k)$. Per $p=1,2,oo$ determinare i $(\lambda)$ tali che $u_(\lambda) in L^p$
Svolgimento:
1)$p=1 => u_(\lambda) in L^1(0,1) <=> ||u_(\lambda)||_1<+oo <=> sum_(k=1)^(+oo) int_(1/(k+1))^(1/k)k^(\lambda)<+oo$
facendo un pò di conti ho trovato che quella serie risulta essere $sum_(k=1)^(+oo) k^(\lambda - 2)$ la quale converge per
$\lambda < 1$.
2)$p=2 =>u_(\lambda) in L^2(0,1) <=> ||u_(\lambda)||_2<+oo <=> sum_(k=1)^(+oo) int_(1/(k+1))^(1/k)k^(2(\lambda))<+oo$
anche qui con un pò di conti arrivo ad una serie armonica e la condizione di convergenza è per $\lambda<1/2$
3)$p=oo$ qui ho studiato i vari casi che dipendono dal parametro $\lambda$
$\lambda=0 => u_(\lambda)=1$ che è proprio il sup essenziale quindi $u_(\lambda) in L^oo$
$\lambda>0 => lim_(k->+oo)u_(\lambda)=+oo=$ sup$u_(\lambda) => u_(\lambda) \notin L^oo$
$\lambda<0 => lim_(k->+oo)u_(\lambda)=0$ quindi la funzione al crescere di k tende a zero, e assume il valore massimo per $k=1$ cioè $u_(\lambda)<=1$ che è il sup essenziale, quindi $u_(\lambda) in L^oo$.
Va bene!?
Risposte
Ciao anche a me interessa questo esercizio, ma non riesco a capire perchè c'è la sommatoria nel calcolo delle norme, chiede che $sum u_l(x) in L^p$?
Poi non vorrei dirti un'eresia 
, ma la funzione per $k->infty$ per $lambda>0$ vale solo in $0$ infinito, che dove non è definita, per cui dovrebbe $ in L^infty$.
, ma la funzione per $k->infty$ per $lambda>0$ vale solo in $0$ infinito, che dove non è definita, per cui dovrebbe $ in L^infty$.
@puretone: La funzione \(u_\lambda\) è definita per casi come segue:
\[u_\lambda (x):=\begin{cases} 1^\lambda &\text{, se } 1/2\leq x <1 \\ 2^\lambda &\text{, se } 1/3\leq x<1/2 \\ 3^\lambda &\text{, se } 1/4\leq <1/3 \\ \vdots &\text{, } \vdots \\ k^\lambda &\text{, se } 1/(k+1)\leq x<1/k \\ \vdots &\text{, } \vdots\end{cases}\]
ergo:
\[\begin{split} \lVert u_\lambda \rVert_p^p &:= \int_0^1 |u_\lambda (x)|^p\ \text{d} x \\ &= \sum_{k=1}^{+\infty} \int_{1/(k+1)}^{1/k} |u_\lambda (x)|^p\ \text{d} x \quad \text{(proprietà additiva dell'integrale)} \\ &= \sum_{k=1}^{+\infty}\int_{1/(k+1)}^{1/k} k^{p\lambda}\ \text{d} x \\ &= \text{etc}\ldots \end{split}\]
Per quanto riguarda l'estremo superiore essenziale nel caso \(\lambda>0\), si può ragionare così: si sa che \(\lim_k k^\lambda =+\infty\) e ciò assicura che per ogni fissato \(\alpha >0\) esiste un \(K\in \mathbb{N}\) tale che \(k^\lambda >\alpha\) per \(k\geq K\); quindi la funzione \(u_\lambda\) è \(>\alpha\) in tutti gli intervalli \([1/(k+1),1/k[\) con \(k\geq K\), ossia in tutto l'intervallo \(]0,1/K[\) il quale non ha affatto misura nulla; conseguentemente nessun numero \(\alpha >0\) è un maggiorante essenziale per \(u_\lambda\) e perciò \(u_\lambda \notin L^\infty (]0,1[)\).
@Lorin: A questo punto, risolvi anche il caso generale: per quali valori di \(\lambda\) la funzione \(u_\lambda\) è in \(L^p\)?
\[u_\lambda (x):=\begin{cases} 1^\lambda &\text{, se } 1/2\leq x <1 \\ 2^\lambda &\text{, se } 1/3\leq x<1/2 \\ 3^\lambda &\text{, se } 1/4\leq <1/3 \\ \vdots &\text{, } \vdots \\ k^\lambda &\text{, se } 1/(k+1)\leq x<1/k \\ \vdots &\text{, } \vdots\end{cases}\]
ergo:
\[\begin{split} \lVert u_\lambda \rVert_p^p &:= \int_0^1 |u_\lambda (x)|^p\ \text{d} x \\ &= \sum_{k=1}^{+\infty} \int_{1/(k+1)}^{1/k} |u_\lambda (x)|^p\ \text{d} x \quad \text{(proprietà additiva dell'integrale)} \\ &= \sum_{k=1}^{+\infty}\int_{1/(k+1)}^{1/k} k^{p\lambda}\ \text{d} x \\ &= \text{etc}\ldots \end{split}\]
Per quanto riguarda l'estremo superiore essenziale nel caso \(\lambda>0\), si può ragionare così: si sa che \(\lim_k k^\lambda =+\infty\) e ciò assicura che per ogni fissato \(\alpha >0\) esiste un \(K\in \mathbb{N}\) tale che \(k^\lambda >\alpha\) per \(k\geq K\); quindi la funzione \(u_\lambda\) è \(>\alpha\) in tutti gli intervalli \([1/(k+1),1/k[\) con \(k\geq K\), ossia in tutto l'intervallo \(]0,1/K[\) il quale non ha affatto misura nulla; conseguentemente nessun numero \(\alpha >0\) è un maggiorante essenziale per \(u_\lambda\) e perciò \(u_\lambda \notin L^\infty (]0,1[)\).
@Lorin: A questo punto, risolvi anche il caso generale: per quali valori di \(\lambda\) la funzione \(u_\lambda\) è in \(L^p\)?
@gugo: Intanto grazie per la precisa ed esaustiva risposta, ho tirato un sospiro di sollievo in vista dell'esame 
, poi per quanto riguarda la tua domanda, diciamo che per il caso generale il discorso è:
$u_(\lambda) in L^p <=> ||u_(\lambda)||_(p)^(p):=int_(0)^(1)|u_(\lambda)(x)|^pdx <+oo$
cioè $ sum_(k=1)^(+oo)int_(1/(k+1))^(1/k)|u_(\lambda)(x)|^pdx < +oo$.
Facendo un pò di conti si arriva a studiare $sum_(k=1)^(+oo)k^(p\lambda)/(k(k+1))<=sum_(k=1)^(+oo)k^(p\lambda)/(k^2)$, cioè $sum_(k=1)^(+oo)k^(p\lambda-2)<+oo <=> 2-p\lambda>1 <=> \lambda<1/p$
Grazie ancora!
, poi per quanto riguarda la tua domanda, diciamo che per il caso generale il discorso è:$u_(\lambda) in L^p <=> ||u_(\lambda)||_(p)^(p):=int_(0)^(1)|u_(\lambda)(x)|^pdx <+oo$
cioè $ sum_(k=1)^(+oo)int_(1/(k+1))^(1/k)|u_(\lambda)(x)|^pdx < +oo$.
Facendo un pò di conti si arriva a studiare $sum_(k=1)^(+oo)k^(p\lambda)/(k(k+1))<=sum_(k=1)^(+oo)k^(p\lambda)/(k^2)$, cioè $sum_(k=1)^(+oo)k^(p\lambda-2)<+oo <=> 2-p\lambda>1 <=> \lambda<1/p$
Grazie ancora!
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