Conferma studio di funzione integrale

[Appinmate]

Buongiorno! Vi propongo come pensavo di svolgere il seguente studio di funzione: $int_{1}^{+infty} (sen|t|)/(t^5+1)dt$..Per quanto riguarda il dominio ho trovato che è $(-1;+infty)$ in quanto in $-1$ l'integrale diverge ( prima domanda: ha senso "tirare fuori" dall'integrale $sen|x|$ perché in $-1$ non ha problemi di definizione? (risolvo cioè $-sen|x|int_{-1+}^{1}1/(t^5+1)dt$ e essendo $1/(t^5+1)$ divergente positivamente, $-sen|x|$ una quantità negativa si può concludere in questo modo che l'integrale in $-1$ diverge negativamente?)). Ho poi un altro problema sulla monotonia.. da $f(x)$ riconosco che la funzione cresce fino a$ x=pi/2$ e poi decresce/cresce "governato" dal segno di $sen|x|$ ..ma come faccio a trovare se ci sono altri zeri? Della funzione integrale? E poi il segno della f integrale come faccio a ricavarlo? Grazie in anticipo.

[dissonance]

Come sarebbe "studio di funzione"? Che funzione? Quello è un integrale, è un numero.

[Appinmate]

Studio della funzione integrale

[dissonance]

Allora sicuramente hai sbagliato a scrivere la traccia, controlla meglio.

[Appinmate]

Sì,sono scema. Volevo scrivere $F(x)=int_{1}^{x} (sen|t|)/(t^5+1)dt$

[Appinmate]

Se la funzione è questa è corretto ciò che ho scritto?

[Appinmate]

Scusate se insisto, ma non so dove sbattere la testa.

[dan952]

Studia il segno di $F'(x)=\frac{\sin|x|}{x^5+1}$

[anonymous_0b37e9]

Anche a mio parere ti conviene studiare la funzione integranda. Ad ogni modo, visto che avevo già svolto alcuni conti, li mostro perchè tu possa confrontarti:

$f(x)=(sin|x|)/(x^5+1)$

Dominio

$x ne -1$

Simmetria

Nessuna

Intersezioni con gli assi

$[x=k\pi] ^^ [y=0] ^^ [k in ZZ]$

Segno

$...$

$[-4\pi lt x lt -3\pi] rarr [f(x) gt 0]$

$[-3\pi lt x lt -2\pi] rarr [f(x) lt 0]$

$[-2\pi lt x lt -\pi] rarr [f(x) gt 0]$

$[-\pi lt x lt -1] rarr [f(x) lt 0]$

$[-1 lt x lt \pi] ^^ [ x ne 0] rarr [f(x) gt 0]$

$[\pi lt x lt 2\pi] rarr [f(x) lt 0]$

$[2\pi lt x lt 3\pi] rarr [f(x) gt 0]$

$[3\pi lt x lt 4\pi] rarr [f(x) lt 0]$

$...$

Limiti

$[lim_(x->-oo)f(x)=0] ^^ [lim_(x->-1^-)f(x)=-oo] ^^ [lim_(x->-1^+)f(x)=+oo] ^^ [lim_(x->+oo)f(x)=0]$

Derivata

$[x gt= 0] rarr [f(x)=sinx/(x^5+1)] rarr [(df)/(dx)=((x^5+1)cosx-5x^4sinx)/(x^5+1)^2]$

$[x lt 0] rarr [f(x)=-sinx/(x^5+1)] rarr [(df)/(dx)=-((x^5+1)cosx-5x^4sinx)/(x^5+1)^2]$

$[(df)/(dx)=0] rarr [tgx=(x^5+1)/(5x^4)]$

Anche se l'equazione di cui sopra è di difficile risoluzione, può essere utile osservare che:

$[(df)/(dx)=0] rarr [f(x)=+-1/sqrt((x^5+1)^2+25x^8)]$

[Appinmate]

Ma perché il dominio dell'integrale è x diverso da 1 e non $(-1;+infty)$ ? Grazie sempre per i gentilissimi aiuti.

[anonymous_0b37e9]

"Appinmate":
Ma perché il dominio dell'integrale è ...

Confesso di non aver compreso la domanda.

[dan952]

....

[anonymous_0b37e9]

...

"Appinmate":
... il dominio dell'integrale è x diverso da 1 ...

Non mi sembra che qualcuno abbia scomodato $[x=1]$. Per quanto mi riguarda, mi sono limitato allo studio di $f(x)$, a prescindere dalla funzione integrale. Inoltre:

"anonymous_0b37e9":

Dominio

$x ne -1$

A questo punto, devo presumere che intendessi scrivere $[x ne -1]$, non $[x ne 1]$. Solo adesso ho realizzato, meglio tardi che mai.

[Appinmate]

ok grazie mille. Stai tranquillo che sei già gentilissimo ad avere la pazienza di rispondere ai miei (molti) dubbi. Però se parliamo di funzione integrale il dominio è $(-infty,-1)$ esatto? E continua a non essermi chiaro come calcolare il segno della f integrale e vedere se ha altri zeri (all'infuori di 1)... Grazie!

[Appinmate]

Scusate se richiedo ma non riesco proprio a capire..

[anonymous_0b37e9]

"Appinmate":
... continua a non essermi chiaro come calcolare il segno della f integrale e vedere se ha altri zeri (all'infuori di 1) ...

Poichè:

Intersezioni con gli assi

$[x=k\pi] ^^ [y=0] ^^ [k=0,1,2,...]$

Segno

$[-1 lt x lt \pi] ^^ [ x ne 0] rarr [f(x) gt 0]$

$[\pi lt x lt 2\pi] rarr [f(x) lt 0]$

$[2\pi lt x lt 3\pi] rarr [f(x) gt 0]$

$[3\pi lt x lt 4\pi] rarr [f(x) lt 0]$

$...$

si può ragionare su come le aree contribuiscano a $F(x)$, andando a sommarsi algebricamente, per:

$[-1 lt x lt 1] vv [x gt 1]$

Intanto:

$[-1 lt x lt 1] rarr [f(x) gt= 0] rarr [F(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt=-\int_{x}^{1}f(t)dt] rarr [F(x) lt 0]$

$[x=1] rarr [F(1)=0]$

Inoltre:

$[\int_{1}^{\pi}sinx/(x^5+1)dx gt= \int_{1}^{\pi}sinx/(\pi^5+1)dx=(cos1+1)/(\pi^5+1)] rarr [\int_{1}^{\pi}sinx/(x^5+1)dx gt= 0.005]$

$[\int_{\pi}^{2\pi}sinx/(x^5+1)dx gt= \int_{\pi}^{2\pi}sinx/(32\pi^5+1)dx=-2/(32\pi^5+1)] rarr [-0.000205 lt= \int_{\pi}^{2\pi}sinx/(x^5+1)dx lt 0]$

$[\int_{2\pi}^{3\pi}sinx/(x^5+1)dx gt= \int_{2\pi}^{3\pi}sinx/(243\pi^5+1)dx=2/(243\pi^5+1)] rarr [\int_{2\pi}^{3\pi}sinx/(x^5+1)dx gt= 0.000026]$

$[\int_{3\pi}^{4\pi}sinx/(x^5+1)dx gt= \int_{3\pi}^{4\pi}sinx/(1024\pi^5+1)dx=-2/(1024\pi^5+1)] rarr [-0.0000064 lt= \int_{3\pi}^{4\pi}sinx/(x^5+1)dx lt 0]$

$...$

In definitiva:

$[x gt 1] rarr [F(x) gt 0]$

Se non è chiaro fammi sapere.