Conferma integrale con residuo

[paolotesla91]

Ciao a tutti. Devo calcolare questo integrale: $int_(|z|=1) (z)/(1-cosz)dz$ con il metodo dei residui. Prima di tutto studio la regione del piano su cui devo calcolare l'integrale ed ho che la parte dipiano che mi interessa è $D={z in CC: -1
Ho proceduto in questo modo: ho trasformato l'integrando applicando una sostituzione $t=e^(jz)$ cosi da ottenere $cost=(t+1/t)/2$, allora $z=lnt/j$ e $dt=je^(jz)dz => dz=dt/(jt)$.

Dopo aver fatto i calcoli ottengo un integrale di questa forma: $-2 int_() (lnt)/((2-t-1/t)t) dt$.

Studio le singolarità ed ho che $t=0$ è polo semplice e $t=1$ è polo doppio. Vado a vedere se queste soluzione si trovano nell'intervallo di definizione dell'integrale e quindi faccio $e^(jz)=1 <=> z=2k\pi$ mentre l'altra soluzione non è mai verificata. Quindi calcolo il residuo nel punto $t=1$.

E' giusto il procedimento? Grazie a tutti.

[Seneca1]

Non mi convince; forse è giusto ma ora non riesco a controllare.

Io avrei fatto direttamente lo studio dell'equazione $cos(z) = 1$, $z \in CC$, senza fare la sostituzione che hai fatto tu.

[paolotesla91]

Ciao Seneca . Grazie per la risposta. Si c'ho provato ma avrei ottenuto una singolarità in $z=2k\pi$ e non so calcolarne il residuo, perchè verrebbe:

$R[2k\pi]=lim_(z -> 2k\pi) (z-2k\pi) f(z)$.

E non sono nemmeno sicuro sia questo il limite da calcolare perchè non sono sicura che sia un polo semplice.

Tu come avresti proceduto?

[Sk_Anonymous]

"paolotesla91":
Prima di tutto studio la regione del piano su cui devo calcolare l'integrale ed ho che la parte di piano che mi interessa è $D={z in CC: -1

Questa affermazione non ha alcun senso.

[paolotesla91]

Ciao speculor. Forse mi sono spiegato male, intendevo dire che devo studiare la parte di piano su cui è esteso l'integrale.

[Sk_Anonymous]

Ok. In ogni modo, quello che devi calcolare è un integrale curvilineo lungo la curva di equazione $|z|=1$. A tale scopo, si può anche procedere considerando l'insieme piano racchiuso dalla curva, $|z|<=1$. Probabilmente intendevi dire questo.

[paolotesla91]

Si esatto. Scusa se mi sono epsresso male. xD

[paolotesla91]

Allora ho provato a risolverlo nel modo in cui mi ha consigliato Seneca ma trovo un problema. Allora io avrei che il polo è il punto $z=2k\pi$ ed è polo di ordine 2. Allora ho pensato che siccome le soluzioni sono periodiche basta studiarne una, ad esempio $z=0$ per $k=0$. Allora ho:

$lim_(z -> 0)d/(dz)((z^2)/(1-cosz))=(2z(1-cosz)-z^2(senz))/(1-cosz)^2->0/0$.

Ho provato con gli sviluppi asintotici ed ho che il limite fa $0$. Lo confermate?

Dunque dal teorema dei residui ho che l'integrale fa $0$. Giusto?

[avmarshall]

"paolotesla91":Allora ho pensato che siccome le soluzioni sono periodiche basta studiarne una, ad esempio $z=0$ per $k=0$.

Basta studiarne una non perchè le soluzioni sono periodiche, ma perchè in quella curva ce ne cade solo una, che è quella che hai detto tu.
Non si potrebbe applicare il teorema dei residui, poichè le singolarità non stanno dentro la curva.

[Seneca1]

"avmarshall":in quella curva [...] dentro la curva.

Tanto per fare il pignolo: "in quell'aperto con frontiera regolare a tratti".

[paolotesla91]

mmmmm..io non vedo altre strade. Sareste cosi gentili da indicarmene una?