Conferma esercizio di analisi 2
Salve ragazzi ho questo esercizio su cui vorrei una conferma:
$f(x,y)=xyln(x^2+y^2)$.
Devo studiarne i punti critici e classificarli. Io mi trovo che il punto $(0,0)$ risulta punto critico perchè annulla il gadiente. L'hessiano risulta indefinito, dunque deduco che sia un punto ne di max ne di min. Giusto?
Sareste cosi gentili da chiarirmi le idee? Grazie mille a tutti.
$f(x,y)=xyln(x^2+y^2)$.
Devo studiarne i punti critici e classificarli. Io mi trovo che il punto $(0,0)$ risulta punto critico perchè annulla il gadiente. L'hessiano risulta indefinito, dunque deduco che sia un punto ne di max ne di min. Giusto?
Sareste cosi gentili da chiarirmi le idee? Grazie mille a tutti.
Risposte
ciao paolo guarda non ho fatto i calcoli, ora provo magari a risolverlo, ma cosi su due piedi ti posso dire che il punto $(0,0)$ in realta non puoi prenderlo in quando hai nella funzione un logaritmo, e l'argomento del logaritmo, cioè $(x^2+y^2)$ deve essere strettamente maggiore di 0, se tu considerassi il punto $(0,0)$ allora sostituendo avresti che l'argomento del logaritmo è $0$ e non esiste, quindi quel punto in realta sarebbe da escludere. meglio calcolare sempre il campo di esistenza prima di considerare punti critici in una funzione
Spero non aver detto niente di sbagliato xD
guarda non ho fatto i calcoli, ora provo magari a risolverlo, ma cosi su due piedi ti posso dire che il punto $(0,0)$ in realta non puoi prenderlo in quando hai nella funzione un logaritmo, e l'argomento del logaritmo, cioè $(x^2+y^2)$ deve essere strettamente maggiore di 0, se tu considerassi il punto $(0,0)$ allora sostituendo avresti che l'argomento del logaritmo è $0$ e non esiste, quindi quel punto in realta sarebbe da escludere. meglio calcolare sempre il campo di esistenza prima di considerare punti critici in una funzione Spero non aver detto niente di sbagliato xD
Ok hai ragione non me ne ero accorto. Ma quando poi studio il sistema, come lo devo impostare?
sto provando a farlo dammi qualche minuto e vedo cosa mi viene e te lo posto 
EDIT :
guarda io ho iniziato e sono arrivato a questo, intanto il campo di esistenza appunto ci fa escludere tutti i punti che non soddisfano la disequazione $x^2>(-y^2)$
detto questo le derivate rispetto a $x$ e $y$ a me vengono cosi :
$f_x= yln(x^2+y^2)+xy*(2x)/(x^2+y^2)$ e la $f_y=xln(x^2+y^2)+xy*(2y)/(x^2+y^2)$
fatto questo metto a sistema eguagliando a $0$ e raccogliendo io ho questo :
$\{(y(ln(x^2+y^2)+(2x^2)/(x^2+y^2))=0),(x(ln(x^2+y^2)+(2y^2)/(x^2+y^2))=0):}$
Da cui andare quindi a trovare i punti, si ha che la prima è uguale a $0$ quando:
1- $y=0$
2- $ln(x^2+y^2)+(2x^2)/(x^2+y^2)=0$
la seconda è uguale a $0$ quando :
1-$x=0$
2- $ln(x^2+y^2)+(2y^2)/(x^2+y^2)=0$
se non ho sbagliato conti o altri si dovrebbero trovare i punti dalla combinazione di queste condizioni. spero di non aver sbagliato conti o altro
EDIT :
guarda io ho iniziato e sono arrivato a questo, intanto il campo di esistenza appunto ci fa escludere tutti i punti che non soddisfano la disequazione $x^2>(-y^2)$
detto questo le derivate rispetto a $x$ e $y$ a me vengono cosi :
$f_x= yln(x^2+y^2)+xy*(2x)/(x^2+y^2)$ e la $f_y=xln(x^2+y^2)+xy*(2y)/(x^2+y^2)$
fatto questo metto a sistema eguagliando a $0$ e raccogliendo io ho questo :
$\{(y(ln(x^2+y^2)+(2x^2)/(x^2+y^2))=0),(x(ln(x^2+y^2)+(2y^2)/(x^2+y^2))=0):}$
Da cui andare quindi a trovare i punti, si ha che la prima è uguale a $0$ quando:
1- $y=0$
2- $ln(x^2+y^2)+(2x^2)/(x^2+y^2)=0$
la seconda è uguale a $0$ quando :
1-$x=0$
2- $ln(x^2+y^2)+(2y^2)/(x^2+y^2)=0$
se non ho sbagliato conti o altri si dovrebbero trovare i punti dalla combinazione di queste condizioni. spero di non aver sbagliato conti o altro
scusate il doppio ma è per far notare che ho " risposto "
Grazie mille malcon mi sei stato di gradissimo aiuto grazie ancora
Figurati è stato un piacere 
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