Conferma divergenza serie

[fabiuz_29]

Ciao a tutti, sto trattando la seguente serie numerica

$ sum_(n=1)^oo (1+1/n)^(n+2)/(1+(-1)^n*1/n^3) $

dove il numeratore è chiamato $ a_n $ e il denominatore $ b_n $ .

Le opzioni sono 1)converge assolutamente 2)diverge 3)converge semplicemente 4)oscilla.

Partendo mettendo sotto modulo $ |b_n| $ discutendo la convergenza assoluta ottengo

$ sum_(n=1)^oo (1+1/n)^(n+2)/(1+1/n^3) $

Beh, a questo punto ho cercato di ragionare per logica

$ 1<= 1+1/n^3<=1+1/n $

da cui

$ (1+1/n)^(n+2)/(1+1/n^3) >= (1+1/n)^(n+2)/(1+1/n)=(1+1/n)^(n+2-1)=(1+1/n)^(n+1) $ per $ nrarr oo $

chiamando $ (1+1/n)=lambda $ , abbiamo $ lambda>1 $ per cui $ lambda^(n+1)rarr oo $

Quindi giungo alla conclusione che $ suma_n/|b_n| $ diverge.

Vale lo stesso per $ suma_n/b_n $ ?

ps: forse ho esagerato con i simboli, ma mi piacciono da impazzire

[Noisemaker]

La serie è a termini positivi, quindi l'utilizzo del modulo è inifluente; osservando che
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+2}}{1+\frac{(-1)^n}{n^3}}=e,
\end{align}
non essendo infinitesimo il termine generale, la serie non può convergere.

[fabiuz_29]

Scusami, la serie è a termini positivi perché $ (-1)^n/n^3 $ tende a zero e che abbia segno positivo o negativo è ininfluente in quanto sommandoci $ 1 $ il denominatore è sempre $ >= 0$ ?

[Noisemaker]

esatto