Condizioni teorema Stokes

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Studiando la dimostrazione del teorema di Stokes, come può essere trovata per esempio qui, trovo formule del tipo
\[\text{rot} \mathbf{F}·\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}×\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial s} \Bigg( \mathbf{F}·\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}\Bigg) -\frac{\partial}{\partial t}\Bigg(\mathbf{F}·\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s}\Bigg)\]
Che verifico molto facilmente (con qualche calcoletto) senonché (chiamando $F_i$ le componenti di \(\mathbf{F}\) e chiamando \(\mathbf{r}(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t))\)) trovo che a destra ho in realtà \(\text{rot} \mathbf{F}·\mathbf{r}_s×\mathbf{r}_t+F_1x_{st}+F_2y_{st}+F_3z_{st}-F_1x_{ts}-F_2y_{ts}-F_3z_{ts}\): "avanzano" cioè dei prodotti di cui un fattore è derivata seconda con variabili di derivazione invertite, che si annullerebbero per il teorema di Schwarz se \(\mathbf{r}\) fosse di classe $C^2$. Il teorema di Stokes pone la parametrizzazione della frontiera \(\mathbf{r}\) di classe $C^2$ come condizione? Lo chiedo perché non l'ho trovato in nessun enunciato del teorema...
Un'altra cosa che mi sfugge è come si arriva -per esempio nella dimostrazione che ho linkato- a
\[ \oint_{\partial S} \mathbf{F}·\text{d}\mathbf{r}=\int_{\partial R} \mathbf{F}·\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} \text{d}s +\mathbf{F}·\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \text{d}t\]
Capisco che $\oint_{\gamma} \mathbf{F}·\text{d}\mathbf{r}=\int_I \mathbf{F}( \mathbf{r}(t))·\mathbf{r}'(t)\text{d}t$ ed intuisco che c'è un collegamento tra le due formule, ma il mio libro (che dimostra solo in un caso molto particolare il teorema di Stokes) non introduce integrali curvilinei di seconda specie per curve parametrizzate da due variabili... Qualcuno mi aiuterebbe a chiarirmi le idee?
È frustrante quando un testo omette la dimostrazione di un teorema che non è proprio banale...
Grazie di cuore a tutti!!!

EDIT: rinominate le variabili di derivazione conformemente all'uso della pagina della Proofwiki.

[dissonance]

Sul primo punto, che io sappia questi teoremi si dimostrano di solito nel caso di bordo di classe \(C^\infty\) e poi si verifica che in realtà l'ipotesi poteva essere indebolita. Questa verifica si può fare magari con argomenti intuitivi, tipo approssimare un bordo frastagliato con un bordo liscio.

Insomma, non ti stare a preoccupare del bordo, adesso, consideralo regolare a volontà.

Quanto al secondo integrale, è un integrale di linea nel piano \(s, t\), mi pare. Se avesse scritto

\[F_xdx+F_ydy\]

avresti avuto difficoltà? Mi pare che sia esattamente la stessa cosa (ma non ho esaminato a fondo tutta la dimostrazione, in verità).

[DavideGenova1]

"dissonance":Questa verifica si può fare magari con argomenti intuitivi, tipo approssimare un bordo frastagliato con un bordo liscio.

Ho in effetti trovato una cosa del genere qui e la do per buona, anche se a prima vista non mi soddisfaceva moltissimo. Comunque non vedo l'ora di approfondire la geometria differenziale...

"dissonance":Quanto al secondo integrale, è un integrale di linea nel piano \(s, t\), mi pare. Se avesse scritto

\[F_xdx+F_ydy\]

avresti avuto difficoltà?

Direi di no... L'avrei interpretato come l'argomento di un integrale del tipo $\int_{\gamma} F_x\text{d}x+F_y\text{d}y=\int_{I} \mathbf{F}(\mathbf{r}(u))·\mathbf{r}'(u)\text{d}u$. Credo quindi di vederci finalmente chiaro: chiamando \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(\mathbf{s}(u))\) la parametrizzazione di $\partial S$, con \(\mathbf{s}(u)=(s(u),t(u)),\mathbf{s}:I\rightarrow \partial R\), direi che
\[\int_{\partial R} \mathbf{F}·\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} \text{d}s +\mathbf{F}·\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \text{d}t = \int_{I} \mathbf{F}(\mathbf{r}(\mathbf{s}(u))·(J_{\mathbf{r}}(\mathbf{s})J_{\mathbf{s}}(u)) \text{d}u\]
dove il prodotto delle matrici jacobiane $J_{\mathbf{r}}(\mathbf{s})J_{\mathbf{s}}(u)="d"/("d"u) \mathbf{r}(\mathbf{s}(u))$. Spero di non dare i numeri...
$\aleph_1$ grazie!!!