Condizioni sufficienti per esistenza massimi e minimi
Sia $h$ una funzione continua su un insieme A chiuso di $\mathbbR^{n}$ supponiamo che $h(x) \rightarrow 0$ per $||x|| \rightarrow \propto$ e che esistano x ed x' t.c. $h(x)>0$ e $h(x')<0$ allora esistono il massimo e il minimo di $h$ su A.
Non riesco a dimostrare questo teorema,non so come inziare. Qualche suggerimento?
Non riesco a dimostrare questo teorema,non so come inziare. Qualche suggerimento?
Risposte
Prova a fare un disegno (basta in dimensione \(n=1\)).
Devi cercare di individuare un compatto dove la funzione assume estremo superiore e inferiore.
Devi cercare di individuare un compatto dove la funzione assume estremo superiore e inferiore.
Sì, infatti nel caso n=1 è più che intuitivo.Il problema è che non riesco a dimostrarlo per $n>1$.Potresti essere un po' più esplicito sul come procedere?
Prendi \(\epsilon := \min\{h(x), -h(x')\}\); per ipotesi si ha che \(\epsilon > 0\).
Sempre per ipotesi, esiste \(R>0\) tale che \(|h(x)| < \epsilon /2\) per ogni \(x\in A\), \(|x|>R\).
Considera ora l'insieme compatto \(K := \overline{B}_R(0) \cap A\).
Per il teorema di Weierstrass esistono \(x_1, x_2\in K\) punti rispettivamente di massimo e minimo assoluto di \(h\) in \(K\).
Ti basta ora far vedere che questi sono estremi assoluti su tutto \(A\) e non solo in \(K\)...
Sempre per ipotesi, esiste \(R>0\) tale che \(|h(x)| < \epsilon /2\) per ogni \(x\in A\), \(|x|>R\).
Considera ora l'insieme compatto \(K := \overline{B}_R(0) \cap A\).
Per il teorema di Weierstrass esistono \(x_1, x_2\in K\) punti rispettivamente di massimo e minimo assoluto di \(h\) in \(K\).
Ti basta ora far vedere che questi sono estremi assoluti su tutto \(A\) e non solo in \(K\)...
Credo di aver capito. Grazie mille!
Se hai risolto ne sono contento 
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