Condizioni sistema eq. derivate parziali ammette soluzione

[Brunsviga]

Salve, avrei la seguente curiosità: siano \(g_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \ \ i=1,2, \dots, n\) funzioni differenziabili con continuità su tutto \( \mathbb{R}^n\), sto cercando delle condizioni sufficienti (e necessarie magari) per l'esistenza di almeno una funzione \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) che soddisfi \(\partial_{x_i} f(x) = g_i(x) \ \ i=1,2, \dots, n\).
Grazie in anticipo a chi vorrà rispondere.

[Rigel1]

Poiché le \(g_i\) sono di classe \(C^1\) su tutto \(\mathbb{R}^n\), una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di un potenziale \(f\) è che il campo vettoriale \(g = (g_1,\ldots,g_n)\) sia irrotazionale, cioè che
\[
\partial_{x_j} g_i = \partial_{x_i} g_j\qquad\forall i,j = 1,\ldots,n.
\]

[Brunsviga]

Grazie mille!

[Brunsviga]

Sperando di non abusare della tua (vostra) disponibilità, la mia curiosità mi ha portato adesso a considerare un sistema leggermente diverso. Formalmente mi interesserebbe conoscere delle condizioni sufficienti (e magari necessarie) perché data una funzione \(g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) differenziabile con continuità esista una funzione \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) che soddisfi \(\sum_{i=1}^n (\partial_{x_i}f(x))^2 = g(x)\) per ogni \(x\).
Grazie in anticipo.

[Rigel1]

Dipende da cosa intendi per soluzione; infatti, i problemi al contorno associati all'equazione che hai scritto (l'equazione dell'eiconale) tipicamente non ammettono soluzioni classiche (cioé \(C^1\)).
L'ambito "giusto" è quello delle soluzioni di viscosità, ma qui il discorso diventa un po' lungo (trovi comunque in rete un sacco di materiale); il riferimento bibliografico classico è il libro di P.L. Lions, "Generalized solutions...".

[Brunsviga]

Grazie!